Question

我正在学习计算机科学/运筹学，现在我对最大流量问题很感兴趣。我写了一个算法来解决这个问题，但我很难搞清楚计算的复杂性。 Python-esque伪代码如下：

function max_flow(graph,current_node,limit):
    if limit <= 0:
        return 0 
    else if node == graph.sink:
        return limit
    else:
        total = 0
        for each node connected to current_node:
            cap = graph.capacity(current_node,node)
            if cap > 0:
                next_limit = min(cap, limit - total)
                next_max_flow = max_flow(graph,node,next_limit)
                total += next_max_flow
                graph.capacity(current_node,node) -= next_max_flow
        return total

其中graph.capacity（a，b）表示从a到b的弧的容量。要查找总的最大流量，可以将算法称为max_flow（graph，graph.source，infinity）。

我向自己证明了算法是正确的（尽管如果这也是错误的，请随意纠正我），而我对复杂性的看法是算法运行在O（| V | ²），其中| V |是顶点的数量。理由是：

在最坏的情况下，每个节点都连接到每个其他节点，因此它是一个完整的有向图。这意味着每个节点最多都有| V | - 1条边。但是，由于偏斜对称性，如果从a到b的容量为正，则从b到a的容量必须为负。所以，如果源有| V | - 1个正容量边缘，然后下一个最高节点最多可以有| V | - 2个正容量边缘，因为至少一个边缘必须具有负容量。因此，正容量边缘的总数最多为（| V | -1）*（| V | -2）/ 2 = O（| V | ²）。

那就是我陷入困境的地方。直观地说，它听起来像是通过| V |中的每一个节点最大为| V |次，这导致O（| V | ²）。但是，我的一部分认为实际的复杂性是O（| V | ³），但我找不到任何一个严格的解释。有人能帮我推动正确的方向吗？

注意：这些都不是作业，也不是任何课程的一部分。

Answer 1

复杂性

我认为由于递归调用，这对非循环图具有指数复杂性。（对于循环图，它永远不会完成，因此具有无限的复杂性。）

实施例

假设我们有一个起始节点，100个节点排列在10 * 10网格中，以及一个汇聚节点。

开始连接到第1列中的所有10个节点（容量为1）。

x列中的每个节点都连接到列x + 1中的所有节点（容量为1）。

但没有节点连接到汇聚节点。

然后你的算法必须通过矩阵尝试所有10 ^ 10（= 10,000,000,000）条可能的路线，以发现最大流量等于0。

最大流算法的算法复杂度

1 个答案:

复杂性

实施例