Question

我有以下两个问题。

是非题：我们总是可以在Ford-Fulkerson算法中找到一系列增加流量的s-t路径，这样我们就可以在多项式迭代中达到最大流量。
是非题：我们总是可以在Ford-Fulkerson算法中找到一系列增加流量的s-t路径，这样，只有经过指数级的迭代后，我们才能达到最大流量。

Answer 1

第一个答案肯定是错误。由于Ford-Fulkerson算法的运行时间不是多项式-它是指数的。

因此，要找到所有s-t路径以达到最大流量，将花费指数时间。

Ford-Fulkerson算法的运行时间为O(nV)，更准确地说是O((n+m)V)，其中n是节点数，m是其中的边数图。 V是图形具有的最大容量。

因此，它可能看起来像多项式时间算法。但是，如果V很大，让我们假设这个大数可以表示为2^k，则运行时间变为O(n. 2^k)-是指数的。

第二个答案在某些情况下也不是正确的，但在考虑图形中容量值的整数/有理数时，大多数情况下是正确的。我们知道该算法需要花费指数时间-没问题。但是，如果图表的容量值为 inrational ，则Ford-Fulkerson算法不能保证终止。因此，第二条陈述也是错误的。但是，在大多数情况下都是如此，因为在大多数情况下，容量是整数或有理值。

Answer 2

第一个主张是正确的。第二个说法是错误的。

G_f表示G残留网络，c_f是G_f中的容量。据我所知，这是福特富里克森方法：

1) Define: f(u,v) = 0, for all (u,v) in E.

2) while there exits a path p from s to t, in G_f:

    3)     c_f(p) = min{c_f(e) : for all e in p}

    4)     for (u,v) in p:

        5)         if (u,v) in E:

            6)             f(u,v) += c_f(p)

        7)         else:

            8)             f(u,v) -= c_f(p)

到过程结束时，f是最大流量。（您可以在CLRS的“算法简介”中阅读证明）

该算法的运行时间为O（X（V + E）），X是while循环迭代的次数。

现在-我们可以使用BFS搜索在第（2）行上找到p。这种方法可确保我们迭代while循环O（VE）次。此实现也称为Edmonds-Karp algorithm。因此，总运行时间为：O（VE *（E + V））。

这应该回答您的第一个问题-我们总是可以通过在多项式时间内增加路径s-t来找到最大流量。

关于第二个问题：考虑一个图G，其中所有容量均为1。显然，最大流量值小于| E |。

由于while循环的每次迭代都将流f的当前值增加一个正整数（实际上是一个整数。如果需要证明，请转到CLRS），我们得到while循环最多迭代| E |。次。因此，无论我们如何选择增广路径，我们的运行时间均为O（E *（E + V）。该图与第二项主张相抵触。

最大流量算法运行时间

2 个答案: