big-O中while循环的时间复杂度

Question

我无法根据输入n指示简单while循环的时间复杂度。

只要i＆lt; while循环就执行。 n和i比前一次迭代的次数增加一个。例如，在第二次迭代中，i在第3次迭代中递增1，递增2，依此类推......基本上，循环执行“t的最终值”次。

func(n):
    i = 1
    t = 1

    while (i < n):
        i = i + t
        t = t + 1

我的问题是，如何用big-O表示法指出该算法的时间复杂度？

Answer 1

  

基本上，循环执行“t的最终值”次。

你已经到了一半。你知道循环执行t次，现在你只需要解决t。

当1..t之和大于或等于n时，您的循环将结束。通过求解summation，我们可以将其表达为

t*(t-1)/2 >= n

通过重新排列等式以n表示t，我们得到

t >= 1/2 (1 - sqrt(1 + 8 n))

但是，我们也知道循环以满足不等式的t的最低（第一）值结束。让我们称之为价值tn。如果tn是满足不等式的第一个值，则tn-1是满足相反不等式的最后一个值。

tn - 1 <= 1/2 (1 - sqrt(1 + 8 n))

由此，我们知道t由sqrt（n）和一些常数的某个函数在上下限定。那么t是Θ（sqrt（n）），这意味着t也是O（sqrt（n））。