Big-O嵌套while循环

Question

i <-- 1
while(i < n)
   j <--1
   while(j < i)
      j <-- j * 2
   i <-- i + 1
done

对于内循环，我的镜头为O(log n)。我猜测外环是O(n)，总体复杂度为O(n log n)。确认？

Answer 1

您可以正式，一步一步地使用Sigma表示法获得确切的迭代次数 - 查看Discrete Loops and Worst Case Performance论文（第10页）。

结果经验证实。

Answer 2

是的，你是对的，但要弄清楚它并不是那么简单：）。

内环很简单log n，无需进一步解释。

然而外循环并不那么简单，因为在每个循环中它都会改变内循环的执行时间。

如果您考虑一下，内部循环将会运行（随着i增加）：

log 1 + log 2 + log 3 + log 4 + log 5 .... + log n

由于logharitms的一些定律，它与log (1*2*3*4*....*n)相同，与

相同

log (n!)

法律n!具有相同的复杂性（谨防，它是复杂性，在代数中不同）n^n

因此log (n!) = O(log (n^n))

现在我们可以切换回代数，因为log (n^k) = k*log (n)我们得到了结果

log (n^n) = n log n

结果：

时间复杂度为O(n log n)