Question

我正在尝试在我的程序中实现N阶的贝塞尔曲线的公式。在我看来，我已经做了一切正确但视觉效果不正确。

这是： Curve problem

红色立方体是P0，蓝色是P8。白色立方体是构成曲线的实际点集。橙色立方体是控制点。

我看到的是曲线末端之前有一个循环，曲线连接到最后一个（蓝色立方体）点。看起来有一个看不见的点。另一件事是在P0和P1之间也是奇怪的事情......

有人可以帮我解决吗？

以下是我使用的代码：

    private void Update()
    {
        controlPointsCoords = ControlPoints.Select(p => p.transform.position).ToArray();

        for (int p = 0; p < PointsSet.Count; p++)
        {
            PointsSet[p].transform.position = CurveDegreeN
            (
                controlPointsCoords,
                Rt(p, PointsSet.Count)
            );
        }
    }

    private Vector3 CurveDegreeN(Vector3[] pointsCoords, float u)
    {
        float X = 0, Y = 0, Z = 0;
        float n = pointsCoords.Length - 1;

        for (int i = 0; i < pointsCoords.Length; i++)
        {
            var coef = (Factorial(n) / (Factorial((float)i) * Factorial(n - i))) * Mathf.Pow(u, i) * Mathf.Pow(1 - u, n - i);
            X += coef * pointsCoords[i].x;
            Y += coef * pointsCoords[i].y;
            Z += coef * pointsCoords[i].z;
        }

        return new Vector3(X, Y, Z);
    }

    private float Factorial(float n)
    {
        if (n == 0) return 1;

        float res = 0.0f;
        for (int i = 1; i < n; i++) res += (float)Math.Log(i);
        return (float)Math.Exp(res);
    }


    private float Rt(int current, int count)
    {
        return ((float)current - 0) / ((float)count - 0) * (1 - 0) + 0;
    }

我希望有人能清楚这一点！提前谢谢！

更新我将点数减少到3.结果如下：3 Points curve。在这里可以清楚地看到计算出现问题...还有更多建议吗？

Answer 1

首先简化该代码，因为这对调试来说是不可靠的。第一步：不要使用微积分，除非这样做有实际好处。使用完整二项式计算和t次方通常与插值一样快（或慢）（贝塞尔曲线简单地表示为列表缩减），但插值很容易通过简单的加法和乘法实现，而二项式计算和权力是更多的工作。所以让我们几何学评估，而不是使用微积分：

function drawCurve(coords[]):
  points = []
  // the higher you make "steps", the more curve points you generate:
  for (s=0, steps=10; s<=steps; s++):
    t = s/steps
    nt = 1 - t
    list[] = coords.shallowCopy()

    // We now run our list reduction to get our on-curve
    // point at t, using de Casteljau's algorithm:
    while(list.length > 1)
      for(i = 0, e = list.length; i < e; i++):
        list[i] = nt * list[i] + t * list[i+1]
      list.pop()

    // And what's left is our on-curve point at t.
    // Beauty; push and move on to the next point.
    points.push(list[0])
  return points

完成。通过排除二项式和幂，并且纯粹基于迭代插值（即使用de Casteljau's algorithm）实现曲线评估，在这段代码中几乎没有什么可以“做错”：代码具有很高的质量！ / p>

通过使用数组[3]代替3d向量类，您可以通过明确您的坐标使代码更加高效，这样您就不必在插值步骤中依赖运算符重载或函数调用slowldowns ，所以你会得到类似的东西：

function drawCurve(coords[]):
  coords = flatten(coords) // one-time convert Vector3 to flat [x,y,z] arrays
    ...
    while(list.length > 1)
      for(i = 0, e = list.length; i < e; i++):
        v1 = list[i]
        v2 = list[i+1]
        list[i][0] = nt * v1[0] + t * v2[0] // x
        list[i][1] = nt * v1[1] + t * v2[1] // y
        list[i][2] = nt * v1[2] + t * v2[2] // z
      list.pop()
    points.push(new Vector3(list[0]))
  return points

（最后的优化虽然通常不值得，但也要展开while，根据初始for和计数器{{来实现单个L=list.length循环1}}，其中i递减1，L在i时重置为0，并在i==L时终止

如果你绝对需要微积分（事实上并非如此），至少可以“有效地”生成二项式系数：基于Pascal's triangle生成它们非常简单，所以对于数学的热爱协处理器不使用阶乘来评估它们，它们可以通过只添加一些整数来生成：

L==1

（如果你这样做，要么确保你记住你正在编程并且数组偏移从0开始，或者在行/列位置[0]添加虚拟值，这样你就可以“直观地”调用{{1}得到4选择2而不是5选择3）

Answer 2

除了这是二进制的最低效计算之外，你应该预先计算二项式序列，而不是为你绘制的每个点重新计算它们，并且你可以避免大多数对幂函数的调用通过采用类似霍纳的方法，......

您的代码似乎是正确的，并且视觉与控制点一致，迫使中间部分成直线。高阶多项式插值可以在样本或控制点具有（相对）大的值变化的段处具有一些复杂的摆动。

更新：我一开始并没有仔细查看辅助函数，因为我不会使用因子的单独计算来计算二项式，但您的阶乘函数不包含因子n对于带参数n的调用，即它计算(n-1)!。

N阶Bezier曲线

2 个答案: