Question

我想检查一个三次贝塞尔曲线是否是另一个贝塞尔曲线的子曲线。

我想我基本上理解了如何做到这一点，将beziers表示为两个立方体，在x和y中，然后测试立方体是否为彼此的缩放或平移。如果缩放和平移匹配告诉我们曲线是同一曲线的子段，并给出曲线As空间中曲线B的t0 prime和t1 prime。

但我无法确定如何检查立方体的等效性。

Answer 1

根据以下评论回答：

假设我们采用Bezier曲线，并使用de Casteljau算法将其拆分。显然，结果是原始曲线的许多子曲线。问题是如何返回，并恢复t值，以及曲线是同一曲线的一部分的事实，只给出了它们的4个控制点

简短回答：除非你有一台无限精密机器，否则你不能。

所以我们一直坚持＆＃34;错误阈值＆＃34;测试。给定一条主曲线A和一条＆＃34;希望是曲线的＆＃34;曲线B，如果B 是A的副曲线，则运行需要为真的事物：

如果B是真正的子曲线，则其起点和终点位于曲线A上。因此，在某个误差阈值内检查是否为真。如果他们不这样做，则B不是A的子曲线。
如果B是真正的子曲线，则B的起点和终点的导数与A上相应坐标的导数相同。因此，在某个误差阈值内检查是否为真。如果他们不是，则B不是A的子曲线。
如果B是真正的子曲线，那么B＆＃39; s的二阶导数开始一个终点与A上相应坐标的二阶导数相同。所以在一些误差内检查是否为真阈。如果他们不是，则B不是A的子曲线。

如果所有这些都成立，我们可以合理地确定B是A的副曲线。

此外，由于我们需要提出t值来检查点是否位于A上，以及A的衍生物是什么，我们已经知道t值定义A上映射到完整曲线B的间隔。

Answer 2

这是工作代码。（你可以很容易地找到立方根查找器）

 /*
        A = p3 + 3.0 * p1 - 3.0 * p2 - p0;
        B = 3.0 * p0 - 6.0 * p1 + 3.0 * p2;
        C = 3.0 * p1 - 3.0 * p0;
        D = p0;
    */
        bool CurveIsSubCurve(BezierCurve bez, BezierCurve sub, double epsilon, double *t)
        {
            int Nr;
            double tcand[6];
            int i, ii;
            double ts[6], te[6];
            int Ns = 0;
            int Ne = 0;
            Vector2 p;

            /*
              Take two bites at the cherry. The points may have slight errors, and a small error in x or y could represent a big error in
    t. However with any luck either x or y will be close 
            */
            Nr = cubic_roots(bez.Ax(), bez.Bx(), bez.Cx(), bez.Dx() - sub.P0().x, tcand);
            Nr += cubic_roots(bez.Ay(), bez.By(), bez.Cy(), bez.Dy() - sub.P0().y, tcand + Nr);

            for(i=0;i<Nr;i++)
            {
                p = bez.Eval(tcand[i]);
                if(fabs(p.x - sub.P0().x) < epsilon && fabs(p.y - sub.P0().y) < epsilon)
                {
                    ts[Ns++] = tcand[i];
                }
            }

    /* same thing of sub curve end point */
            Nr = cubic_roots(bez.Ax(), bez.Bx(), bez.Cx(), bez.Dx() - sub.P3().x, tcand);
            Nr += cubic_roots(bez.Ay(), bez.By(), bez.Cy(), bez.Dy() - sub.P3().y, tcand + Nr);
            for(i=0;i<Nr;i++)
            {
                p = bez.Eval(tcand[i]);
                if(fabs(p.x - sub.P3().x) < epsilon && fabs(p.y - sub.P3().y) < epsilon)
                {
                    te[Ne++] = tcand[i];
                }
            }

    /* do an all by all to get matches (Ns, Ne will be small, but if
    we have a degenerate, i.e. a loop, the loop intersection point is
    where the mother curve is quite likely to be cut, so test everything*/

            for(i = 0; i < Ns; i++)
            {
                double s,d;
                double Ax, Bx, Cx, Dx;
                double Ay, By, Cy, Dy;

                for(ii=0;ii<Ne;ii++)
                {
                    s = (te[ii] - ts[i]);
                    d = ts[i];

    /* now substitute back */
                    Ax = bez.Ax() *s*s*s;
                    Bx = bez.Ax() *2*s*s*d + bez.Ax()*s*s*d + bez.Bx()*s*s;
                    Cx = bez.Ax()*s*d*d + bez.Ax()*2*s*d*d + bez.Bx()*2*s*d + bez.Cx() * s;
                    Dx = bez.Ax() *d*d*d + bez.Bx()*d*d + bez.Cx()*d + bez.Dx();

                    Ay = bez.Ay() *s*s*s;
                    By = bez.Ay() *2*s*s*d + bez.Ay()*s*s*d + bez.By()*s*s;
                    Cy = bez.Ay()*s*d*d + bez.Ay()*2*s*d*d + bez.By()*2*s*d + bez.Cy() * s;
                    Dy = bez.Ay() *d*d*d + bez.By()*d*d + bez.Cy()*d + bez.Dy();

                    if(fabs(Ax - sub.Ax()) < epsilon && fabs(Bx - sub.Bx()) < epsilon &&
                       fabs(Cx - sub.Cx()) < epsilon && fabs(Dx - sub.Dx()) < epsilon &&
                       fabs(Ay - sub.Ay()) < epsilon && fabs(By - sub.By()) < epsilon &&
                       fabs(Cy - sub.Cy()) < epsilon && fabs(Dy - sub.Dy()) < epsilon)
                    {
                        if(t)
                        {
                            t[0] = ts[i];
                            t[1] = te[ii];
                        }
                        return true;

                    }

                }
            }

            return false;
        }

检查贝塞尔曲线是否是另一个贝塞尔曲线的子曲线

2 个答案: