简化高阶贝塞尔曲线

Question

我有一组代表贝塞尔曲线的控制点。它可以是五阶或100阶贝塞尔曲线，也可以是介于两者之间的任何曲线。我正在寻找一种方法将贝塞尔曲线简化为多个三次贝塞尔曲线。下图显示了如何将十度曲线简化为三度曲线，但我想进一步将其简化为几条三次贝塞尔曲线，以实现更好的逼近。

代码示例非常有用。

Answer 1

正如mohsenmadi已经指出的那样：一般来说，如果不提出自己的错误指标，这不是一件事。另一个想法是，让我们将这条曲线近似为低阶曲线的序列＆＃34;，这样我们得到的东西看起来更好，并且没有＆＃39 ; t确实需要错误指标。这有点像＆＃34;扁平化＆＃34;曲线到线条，除了代替线条，我们将改为使用立方贝塞尔曲线，这样可以提供漂亮的曲线，同时保持所有的线条和易于处理的曲线。就现代图形库而言。

然后我们能做的是：将那个＆＃34; 100阶曲线＆＃34;分开。通过定期对曲线进行采样，然后通过Catmull-Rom算法运行这些点，进入一系列三次贝塞尔曲线。程序非常简单：

1. 为t选择一些定期间隔的值，如0,0.2,0.4,0.6,0.8和1，然后
2. 创建一组点tvalues.map（t =＆gt; getCoordinate（curve，t））。然后，
3. 构建虚拟起点和终点：从点0开始形成点1并沿其切线向后移动，并从{{1}开始形成点n+1跟随它的切线。我们这样做，因为：
4. 构建poly-Catmull-Rom，从虚拟点n开始，到虚拟点0结束。

让我们在图片中这样做。让我们从11阶贝塞尔曲线开始：



然后让我们定期对其进行抽样：



我们发明了第0和第n + 1点：



然后我们运行Catmull-Rom程序：

n+1

formCRCurve做什么？好问题：

i = 0
e = points.length-4
curves = []
do {
  crset = points.subset(i, 4)
  curves.push(formCRCurve(crset))
} while(i++<e)

所以我们看到为什么我们需要这些虚拟点：给定四个点，我们可以使用我们在第1点和第4点的帮助下得到的切线信息，形成从第2点到第3点的Catmull-Rom曲线。

当然，我们实际上需要Bezier曲线，而不是Catmull-Rom曲线，但因为它们是相同的＃34;类型＆＃34;曲线，我们可以freely convert between the two，所以：

formCRCurve(points: p1, p2, p3, p4):
  d_start = vector(p2.x - p1.x, p2.y - p1.y)
  d_end = vector(p4.x - p3.x, p4.y - p3.y)
  return Curve(p2, d_start, d_end, p3)

因此，基于点{p1，p2，p3，p4}的Catmull-Rom曲线（通过通过点i = 0 e = points.length-4 bcurves = [] do { pointset = points.subset(i, 4) bcurves.push(formBezierCurve(pointset)) } while(i++<e) formBezierCurve(points: p1, p2, p3, p4): return bezier( p2, p2 + (p3 - p1)/6 p3 - (p4 - p2)/6 p3 ) 和p2）可以写成等效贝塞尔曲线，使用start / control1 / control2 / end协调p3，p2，p2 + (p3 - p1)/6和p3 - (p4 - p2)/6。

Answer 2

首先，您必须知道没有近似的低度曲线可以帮助您伸张正义！你一定会引入错误没有逃脱。那么问题是：如何近似以使原始和结果曲线在视觉上相似？

假设您的原始曲线为 n 。首先，subdivide它。您可以根据需要多次细分曲线，而不会引入任何错误。这里，每个细分的程度仍然是 n ，但几何复杂度和曲率明显降低。其次，每个细分的reduce the degree，现在是一个没有高曲率的简单形状，会引入近似误差。