证明n！对于任何常数自然数p，不在O（n ^ p）中

Question

我怎样才能证明n！任何常数自然数p不在O（n ^ p）中？ 对于所有k？

，是（n k）（n选择k）在O（n ^ p）中

Answer 1

Stirling's approximation说

log (n!) = n log n - n + O(log n) = O(n log n)

但是

log (n^p) = p log n = O(log n)

表示常量p。显然，n!的增长速度比n^p快，因此不是O(n^p)。

Answer 2

你可以证明n！通过显示你总是可以选择n（对于固定常数p），n! > n^p。

（为了得到一个想法，选择一些低的p值并绘制n！对n ^ p）

第二部分的推理遵循相同的路线。绑定（n选择k）然后使用第一部分。

提示：正如卡萨布兰卡所说，你可以使用Stirling's approximation

Answer 3

编辑（2011年3月） - 仅使用简单计算的简单方法

显示O（n！）不等于O（n ^ p）的一种方法是比较n的对数！记录n ^ p。

ln（n！）= sum（ln（i））{i：1到n}

ln（n ^ p）= p * ln（n）

这似乎没有帮助，因为我们不知道日志的总和是多少。诀窍是通过使用ln（i）di从1到n

的积分来计算下限

在下图中可以看到，黑色的ln（x）小于蓝色的和步功能。

鉴于ln（i）di的不定积分是i * ln（i） - i + C，我们可以从1到n积分得到：

n * ln（n） - n + 1作为下限。

因为没有选择的p大于所有可能的n：

O（p ln（n））＆lt; O（n ln（n）），O（n ^ p）＆lt;为O（n！）

注意：积分ln（n）得到ln（n！）的近似值是斯特林近似的基础。这是一个更粗略的近似，如果你继续采取反日志：n！ ＆gt; = e *（n / e）^ n，而斯特林有sqrt（2 * pi * n）而不是e。

从1到n + 1的积分会给你一个上界（sum步函数适合ln（n）的图形）