更新：抱歉，我忘记将n ^ n放入O（）
我的尝试是解决这种递归关系：
T(n) = nT(n-1) +1
T(0) = 1;
使用迭代方法我得到了n ^ n，但我不确定这是否是证明它的方法。
答案 0 :(得分：19)
我假设您要证明函数n!是集O(n^n)的元素。这很容易证明：
定义：函数f(n)是集合O(g(n))的元素，如果存在c>0，则m存在k>m，以便所有f(k)<=c*g(k)我们有n!。
因此，我们必须将n^n与n! = n * (n-1) * (n-2) * (n-3) * ... * 3 * 2 * 1
n^n = n * n * n * n * ... * n * n * n
进行比较。让我们把它们写在另一个之下：
n!如您所见，第一行（n^n）和第二行（n）右侧都有n! <= n^n项。如果我们比较这些项目，我们会发现每个项目最多都与第二行中的相应项目一样大。因此c=1（至少对于n> 5）。
所以，我们可以 - 看看定义 - 比如存在m=5，以便k>5存在k! < k^k，对于所有n!我们都有O(n^n)，这证明{{1}}确实是{{1}}的一个元素。
答案 1 :(得分：8)
备注：以下是对原始问题的回答：“证明n！= n ^ n”
我可以很容易地证明它不是真的：取n = 5.
n! = 120
n^n = 3125
答案 2 :(得分：2)
n不是这样！ = n ^ n，因此您将无法证明这一点。此外，你的递归关系的解决方案既不是n！或者n ^ n。 （它满足T（1）= 1 * 1 + 1 = 2，既不是1！也不是1 ^ 1.）
你究竟想做什么，为什么？
答案 3 :(得分：0)
代表n==2，n! = 2 != 4 = n^n
对于n!=2，(n-1)除以n!，但n-1不划分n^n（n^n mod n-1 == 1）
实际的斯特林近似值为n! ~ sqrt(2 Pi n) (n/e)^n
你的数学背景是什么？您是否需要复杂的分析证明或更具组合性的东西？
答案 4 :(得分：0)
n! != n^n。但是，上面定义的T(n)序列不是n!。但它是否等于n^n？对于n=1，T(1) = 1*T(0) + 1 = 1*1 + 1 = 2但n^n = 1^1 = 1。但是，假设您还意味着T(1) = 1，那么n=1就等于它们。更进一步，n=2，然后T(2) = 2*T(1) + 1 = 2*1 + 1 = 3！= 2^2。所以我真的不确定你要问的是什么。