证明5 ^ n = o（n！）

Question

请帮我提供一个如何证明这一点的指示。我可以通过随机找到n的值来证明n！大于5 ^ n。但有人可以帮我证明数学。

Answer 1

使用归纳法。

如果5^n < n!和5 <= n+1，则5^(n+1) == 5 * 5^n < (n+1) * n! == (n+1)!。

Answer 2

5^n = o(n!) <=> if n close to ∞ limit 5^n/n! close to 0

证明：

set An = 5^n/n!, when n > 10, An = 5^n/n! < 1/(n-5)!
for An > 0 and limit 1/(n-5)! close to 0, then 0 <= limit An <= limit 1/(n-5)! <= 0
so limit 5^n/n! close to 0, and 5^n = o(n!)