证明任何＆gt; b> 0，b ^ n在Big-O a ^ n中

Question

  

证明对于任何实数，a，b使a＆gt; b> 0，b ^ n是O（a ^ n），n> = 1。

我搜索了我在离散数学上的几本教科书，以及几个与此证明相关的类似或定理的例子的在线搜索。我不是在寻找一个直接的解决方案，但也许正在展示正确的方法或范例来解决这个问题。

Answer 1

如果你的意思是

Prove that for any real numbers, a, b such that a > b > 0, b^n is O(a^n)

然后，考虑O(a^n)

的定义

来自wiki，

1) For f(x), g(x) defined on a subset of reals
2) if there exists some positive **constant** M and real number x_0, such that
3) if ABS(f(x)) <= M * ABS(g(x)) for all x > x_0

在这种情况下f(x) = b^x和g(x) = a^x。我打算把这个问题视为一个家庭作业问题，即使它没有被标记为一个......如果我错了，请纠正我！

考虑将功能插入步骤（尤其是3）并查看是否可以找出任何 x_0，M对，它是真的。祝你好运！

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修改 我将f(x) = b^n和g(x) = a^n更改为f(x) = b^x和g(x) = a^x

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编辑 - 提示

步骤3）可以解释为：

ABS(f(x)) / ABS(g(x)) <= M for all x > x_0

选择您最喜欢的常量M，然后查看是否可以找到一些有效x_0的{​​{1}}。