伪代码的归纳证明

Question

给出伪代码

MUL(a,b) 
   x=a
   y=0
   WHILE x>=b DO
      x=x-b
      y=y+1
   IF x=0 THEN
      RETURN(true)
   ELSE
      RETURN(false)

在while循环运行 n 次之后，让x（n）和y（n）表示x和y的值。

我必须通过归纳证明来证明

  

x（n）+ b * y（n）= a

我做了什么：

  

P（n）：x（n）+乘（n）= a

设a和b为任意数，则第一个循环将给出x（1）= a - b和y（1）= 0 + 1 = 1

  

P（1）：x（1）+ by（1）= a＆lt; =＆gt; a = a

所以P（1）是真的。

假设P（n）为真。我们想表明P（n + 1）也是正确的。

对于步骤n + 1，循环将给出x（n + 1）= x（n）-b和y（n + 1）= y（n）+ 1

  

P（n + 1）：x（n + 1）+乘以（n + 1）= a＆lt; =＆gt; x（n）+ by（n）= a

假设P（n）为真，则P（n + 1）也为真，证明完成。

我的问题：由于这是我第一次在伪码上使用归纳证明，我不知道该怎么做。我只是想知道这是否是解决问题的正确方法，如果不是，该过程应该是什么样的？

由于

Answer 1

当你在问题中（几乎）得到它时，回答这个感觉就像是矫枉过正，但无论如何我都会这样做：

你的方法很好，虽然你不应该忽略根本没有执行循环迭代的情况，这是 a＆lt; b 并对应于 P ₀ 。如果你证明 P ₁ 为真，那么当 P P _{n + 1} 为真> n 是真的，你没有说 P ₀ 。

因此，通过这种轻微的修改，通过归纳法推导证明如下：

将 P _n 定义为执行循环 n 迭代后表达式x + b*y的值：

  

P _n ：x _n + b.y _n = a

要证明 P _n 对于所有 n＆gt; = 0

是真的

1。基本案例： P ₀

请注意，这是一种可能的情况：当首次评估while循环的条件时，尚未执行任何迭代，因此 n 为0，但我们确实有两个值播放时的变量： x ₀ 和 y ₀ 。

循环的前置条件由循环之前的赋值语句决定：

x=a
y=0

所以我们有：

  

P ₀ ：x ₀ + by ₀ = a + b.0 = a

2。归纳步骤： P _{n + 1}

这里我们假设 P _n 对于给定的 n 是真的：

  

P _n ：x _n + b.y _n = a

这是启动循环的下一次迭代时的前置条件，其中执行以下语句：

x=x-b
y=y+1

通过替换，我们获得该特定迭代的后置条件，根据定义， P _{n + 1} ：

  

P _{n + 1} :( x _n - b）+ b。（y _n + 1）= x < sub> n + by _n = P _n = a