斐波纳契函数正确性的归纳证明

Question

熟悉的Fibonacci函数的Haskell实现

fibSlow n

| n == 0 = 1 --fib.1

| n == 1 = 1 --fib.2

| otherwise = fibSlow(n-1) + fibSlow(n-2) --fib.3

fibSlow正确性的归纳证明是什么？

Answer 1

为了通过归纳证明函数对自然数的正确性，你会证明它对于某些基本情况是正确的，然后假定它对于较低的参数值是正确的，它对于参数的较高值是正确的。因此，您首先验证fibSlow 0 = 1，然后验证fibSlow 1 = 1，然后验证n＆gt; 1，fibSlow n等于第（n-1）个斐波那契数加上第（n-2）个斐波纳契数。在这里，您可以假设这些数字是fibSlow (n-1)和fibSlow (n-2)，因为fibSlow对于归纳假设所有小于n的输入都是正确的。

这似乎相当微不足道......因为它是！在Haskell中这样一个例子的重点是你可以编写明显正确的代码。当你去证明它是正确的时，证据就是自己编写并等于查看代码，并指出它清楚地说明了你要证明的内容。这是像Haskell这样的声明性语言的一个很好的属性。

Answer 2

道歉我暂时没有正式看到这种材料，所以如果这是家庭作业，你可能最好看其他来源。

我想你想要显示一个单调函数的存在，它描述了递归的“进展”。这种情况应该很简单：论证本身是单调递减的。对于非负n，递归调用将使用较小的n'进行，并且n'将永远不会小于零。

您还可以使用电源感应来证明函数是在所有 n 上定义的。你已声明它在0和1上定义，并且只要它在 n 和 n + 1 上定义就足够了，那么它就在 n + 2上定义了。递归调用的定义很明显。

我想你可以在普通章节中阅读Jech's Set Theory一书中的一些手续。