Question

我真的不明白如何通过感应对伪代码使用证明。它似乎与在数学方程上使用它的方式不同。

我正在尝试计算数组中可被k整除的整数数。

Algorithm: divisibleByK (a, k)
Input: array a of n size, number to be divisible by k
Output: number of numbers divisible by k

int count = 0;
for i <- 0 to n do
    if (check(a[i],k) = true)
        count = count + 1
return count;


Algorithm: Check (a[i], k)
Input: specific number in array a,  number to be divisible by k
Output: boolean of true or false

if(a[i] % k == 0) then
    return true;
else    
    return false;

如何证明这是正确的？感谢

Answer 1

在这种情况下，我会将“归纳”解释为“对迭代次数的归纳”。

为此，我们首先建立一个所谓的loop-invariant。在这种情况下，循环不变量为：

count存储可被k整除且索引低于i的数字。

此不变量保留循环条目，并确保循环后（i = n）count保存整个k可整除的值的数量>阵列。

归纳法看起来像这样：

基本情况：循环不变量保持循环输入（0次迭代后）

由于i等于0，因此没有元素的索引低于i。因此，索引小于i的元素不能被k整除。因此，由于count等于0，因此不变量成立。

归纳假设：我们假设不变量保持在循环的顶部。

归纳步骤：我们显示不变量保存在循环体的底部。

执行正文后，i已增加1。要在循环结束时保持循环不变量，必须相应地调整count。

由于现在还有一个元素（a[i]）的索引小于（新）i，count应该增加一个if（且仅当） a[i]可以被k整除，这正是if语句所确保的。

因此循环不变量在身体执行后也会保持。

QED。

在Hoare-logic中，它被证明（正式）像这样（为了清晰起见，将其重写为while循环）：

{ I } { I[0 / i] } i = 0 { I } while (i < n) { I ∧ i < n } if (check(a[i], k) = true) { I[i + 1 / i] ∧ check(a[i], k) = true } { I[i + 1 / i][count + 1 / count] } count = count + 1 { I[i + 1 / i] } { I[i + 1 / i] } i = i + 1 { I } { I ∧ i ≮ n } { count = ∑ 0 x < n; 1 if a[x] ∣ k, 0 otherwise. }

I（不变量）是：

count =Σ_{x＆lt;如果a[x] | k ，我} 1，否则为0。

（对于任何两个连续的断言行（{...}），我有一个证明义务（第一个断言必须暗示下一个断言），我作为练习留给读者; - ）

Answer 2

我们通过对n的归纳证明了正确性，counter是数组中元素的数量。你的范围是错误的，应该是0到n-1或1到n，但不是0到n。我们假设1到n。

在n = 0（基本情况）的情况下，我们只需手动完成算法。 i以值0启动，循环不迭代，我们返回计数器的值，正如我们所说，它是0.这是正确的。

我们可以做第二个基础案例（尽管没有必要，就像常规数学一样）。 n = 1时。计数器初始化为0.循环进行一次传递，其中counter取值为1，如果a中的第一个值可被k整除，则递增Check （这是正确的，因为a[1]算法的明显正确性。）因此，如果k无法被counter整除，则返回0，否则我们返回1.此案例也可以解决。

感应很简单。我们假设n-1的正确性并且将证明为n（再次，就像在常规数学中一样）。为了正确形式，我们注意到counter保存了在循环中最后一次迭代结束时返回的正确值。

根据我们的假设，我们知道在n-1次迭代后{{1}}保持关于数组中第一个n-1值的正确值。我们调用n = 1的基本情况来证明如果最后一个元素可以被k整除，它将为该值加1，因此最终值将是n的正确值。

QED。

您只需要知道执行导入的变量。通常输入大小最有帮助。此外，有时您需要假设所有自然数小于n的正确性，有时仅为n-1。再次，就像常规数学一样。

伪码的归纳证明

2 个答案: