Question

我正在关注Coursera的Scala功能编程，在视频5.7结束时，Martin Odersky要求通过归纳证明以下等式的正确性：

(xs ++ ys) map f = (xs map f) ++ (ys map f)

如果涉及多个清单，如何通过归纳处理证据？

我已经检查了xs为Nil且ys为Nil的基本情况。我已经通过归纳证明，当xs被x :: xs替换时，等式成立，但是我们还需要检查ys被y :: ys替换的等式吗？

在这种情况下（不会过多地破坏练习......但是没有评分）你如何处理：(xs ++ (y::ys)) map f？

这是我在类似示例中使用的方法，以证明

(xs ++ ys).reverse = ys.reverse ++ xs.reverse

证明（省略基本情况，以及简单的x :: xs情况）：

(xs ++ (y::ys)).reverse
= (xs ++ (List(y) ++ ys)).reverse         //y::ys = List(y) ++ ys
= ((xs ++ List(y)) ++ ys).reverse         //concat associativity
= ys.reverse ++ (xs ++ List(y)).reverse   //by induction hypothesis (proven with x::xs)
= ys.reverse ++ List(y).reverse ++ xs.reverse //by induction hypothesis
= ys.reverse ++ (y::Nil).reverse ++ xs.reverse //List(y) = y :: Nil
= ys.reverse ++ Nil.reverse ++ List(y) ++ xs.reverse //reverse definition
= (ys.reverse ++ List(y)) ++ xs.reverse //reverse on Nil (base case)
= (y :: ys).reverse ++ xs.reverse         //reverse definition

这是对的吗？

Answer 1

该属性涉及多个列表，但++仅对其左侧参数进行递归。这是一个提示，你可以通过归纳证明左边的论点。一般来说，当证明关于某些递归函数的命题时，你尝试的第一件事是引入函数在上递归的相同参数。

我会为你做一个例子：

声明：(xs ++ ys) map f = (xs map f) ++ (ys map f)

证明：通过xs上的归纳。

基本案例：xs = Nil
- lhs = (Nil ++ ys) map f = ys map f
  
  （按++的定义）
- rhs = (Nil map f) ++ (ys map f) = Nil ++ ys map f = ys map f
  
  （按map，然后是++的定义）
- 因此 lhs = rhs
归纳案例：xs = z :: zs
- 假设：(zs ++ ys) map f = (zs map f) ++ (ys map f)
- 目标：((z :: zs) ++ ys) map f = ((z :: zs) map f) ++ (ys map f)
- lhs = (z :: (zs ++ ys)) map f = f(z) :: ((zs ++ ys) map f) （1）
  
  （按map的定义）
- rhs = ((z :: zs) map f) ++ (ys map f) = (f(z) :: (zs map f)) ++ (ys map f)
  
  （按map的定义）
- 反过来， rhs = f(z) :: ((zs map f) ++ (ys map f)) （2）
  
  （按++的定义）
- 来自假设， （1） 和 （2） ，我们已经证明目标。

因此，我们已经证明声明是xs，ys和f无效的声明。

Answer 2

正如@Phil的评论所说，首先是对++和::方法在列表中所做的工作的一个很好的理解，更好的方法是documentation

我们如何证明列表程序的属性？答案是结构感应！通过结构归纳证明列表属性P（xs）的证明规则：

P（无）（基本情况）对于所有x，xs：P（xs）=＆gt; P（x :: xs）（归纳步骤）

表示所有xs：P（xs）（后果）

诱导步骤中的P（xs）称为诱导假设

因为唯一重要的是xs，ys用lenght l修复正确的List，在证明xs后你可以证明ys，或者看到它是可交换的

因此，让我们应用归纳法和函数的定义

P（xs）:( xs ++ ys）map f =（xs map f）++（ys map f）

基本情况我们将xs替换为nil

(nil ++ ys) map f [definition of ++ ] 
ys map f  on the other hand 
(xs map f) ++ (ys map p) [apply map over NIL] 
(NIL) ++ (ys map p) [definition pf ++] 
ys map p

归纳步骤

((x::xs) ++ ys) map f [definition ++]
(x:: (xs ++ ys)) map f [definition map]
f(x) :: ((xs ++ ys) map f) [induction hypothesis]
f(x) :: ((xs map f) ++ (ys map f)) [definition ++]
(f(x) :: (xs map f)) ++ (ys map f) [definition map]
(x::xs) map f ++ ys map f

q.e.d

例如scala工作表中的另一个案例

import scala.util.Random

// P : length ( append(as,bs) )) = length ( as ) + length (bs)

def length[T](as: List[T]): Int = as match {
    case Nil => 0
    case _::xs => 1 + length(xs)
}

def append[T](as: List[T], bs: List[T]): List[T] = as match {
  case Nil => bs
  case x :: xs => x :: append(xs, bs)
}

// base case  we substitute Nil for as in P

val a:List[Int] = Nil
val n = 10
val b:List[Int] = Seq.fill(n)(Random.nextInt).toList

length((append(a,b)))

length(a)

length(b)

导入scala.util.Random

length: length[T](val as: List[T]) => Int




append: append[T](val as: List[T],val bs: List[T]) => List[T]






a: List[Int] = List()
n: Int = 10
b: List[Int] = List(1168053950, 922397949, -1884264936, 869558369, -165728826, -1052466354, -1696038881, 246666877, 1673332480, -975585734)

res0: Int = 10

res1: Int = 0

res2: Int = 10

here您可以找到更多示例

通过多个列表的归纳证明

2 个答案: