Question

我在归纳中发现给定功能

时遇到问题

foo :: [Int] -> Int
foo    []  = 0
foo (x:xs) = max (max x (foo xs)) (max (-x) (foo xs))

返回给定列表Int的最大绝对值，运行时间为O(2^n)。

我到现在为止：

t(0) = 1和t(n>1)= 2 * t(n-1) + 4，其中t显示foo元素列表中max和n的调用总和。

Base Case:            n = 0 => t(0) = 1 <= c * 2^0, for c >= 1
Induction Hypothesis: t(n) <= c * 2^n
Induction Step:       n -> n+1
                   => t(n+1) <= c * 2^{n+1}
                  <=> 2 * t(n) + 4 <= c * 2^{n+1} | Induction Hypothesis
                  <=> 2 * c * 2^n + 4 <= c * 2^{n+1}
                  <=> c * 2^{n+1} + 4 <= c * 2^{n+1}

这显然是错误的，我不知道该如何解决。

谢谢！

Answer 1

让我们尝试证明更紧密的界限，例如

t(n) <= c*2^n - k        (*)

对于某些常量c和k。

假设归纳假设（*）成立，我们得到

t(n+1) 
= { recursive definition }
2*t(n) + 4
<= { induction hypothesis }
2*(c*2^n - k) + 4
<= { math }
c*2^(n+1) - 2k + 4
<= { ???? }
c*2^(n+1) - k

现在，我们只需要选择k，以便我们可以证明最后一步的合理性，但这很容易。

请注意，我们还需要检查基本情况t(0)，然后选择c。

剩下的我留给你

Answer 2

让我们证明一些一般性的说法。如果算法复杂度如下：

 t(0) = c
 t(n) = a*t(n-1) + b

假设a>1的算法复杂度为O(a^n)。

让我们选择k1 = c，d = b/(a-1)（此d的选择将在最后清楚显示）和k2 = a + d。假设a > c（否则应该是k1 = min(a,c)，d= b/(max(a,c)-1)和k2 = max(a,c) + d，但我懒得写所有max和{{ 1}}）。我们想证明

min

但这是一个转折，让我们证明更严格的上限：

k1*a^n <= t(n) <= k2*a^n

基本案例：

k1*a^n <= t(n) <= k2*a^n - d

显然是真的

归纳步骤：

我们知道

c <= c <= (a + d) - d

是真的，想证明这一点

k1*a^n <= t(n) <= k2*a^n - d

左侧很简单：

k1*a^(n+1) <= t(n+1) <= k2*a^(n+1) - d

右侧有点复杂

t(n+1) = a*t(n) + b >= a*t(n) >= a*(k1*a^n) = k1*a^(n+1)

最后一步是正确的，因为

t(n+1) = a*t(n) + b <= a*(k2*a^n - d) + b = a*k2*a^n - a*b/(a-1) + b = k2*a^(n+1) - b/(a-1) =  k2*a^(n+1) - d

换句话说

a*b/(a-1) - b = b*(a/(a-1) - 1) = b*(a - (a-1))/(a-1) = b/(a-1)

通过归纳证明指数运行时间

2 个答案: