通过诱导递归关系证明

Question

我正在分析找到算法的时间复杂性的不同方法，并且通过使用归纳证明试图解决这种特定的递归关系有很多困难。

我的RR是：    T（n）<= 2T（n / 2）+√n

我假设你会假设n并证明n-1？有人可以帮助我。

Answer 1

假设T（0）= 0，T（1）= 1（因为你没有给出任何微不足道的情况）。 因此，我们得到：T（2）= 3.41，T（4）= 8.82，T（6）= 14.57，T（8）= 20.48，T（10）= 26.51。这似乎是一个线性函数。

因此，我们可以假设T(n) <= C * n + o(n).

这可以通过归纳证明。假设T(k) <= C*(k) + o(k) = C*(k) + o(n).为k<n。

我们应该证明T(n) <= C*n + o(n). 使用重复，T(n) <= 2*T(n/2) + sqrt(n) <= 2*(C*(n/2) + o(n)) + sqrt(n) = C*n + (2*o(n) + sqrt(n)) = C*n + o(n)。

因此，我们已经证明T(n) <= C*n + o(n)，这可以保证T(n)至少O(n)。

此外，可以证明T(x) = 2T(x/2) + sqrt(x), T(0)=0, T(1)=1的解决方案是T(x) = (2x-sqrt(2x))/(2-sqrt(2))。

Answer 2

如果使用归纳法证明，那么K的假设是正确的并证明2 * k或2 ^ k。

首先，检查T（1）：

T（1）＆lt; = 2T（1/2）+√n

（假设T（1/2）= 1）T（1）= 2 +√n<= O（√nlogn）

现在，假设T（k）为真。

=＆GT; T（k）<= O（√nlogn） T（k）＆lt; = 2T（k / 2）+√n＆lt; = c（√nlogn）

证明，T（2k）：

T（2k）＆lt; = 2T（2k / 2）+√（2k）
=＆GT; T（2k）<= 2（c（√klogk）+√（2k）
=＆GT; T（2k）＆lt; =√2* [2（c（k log k）+√（2k）] //（不等式） =＆GT; T（2k）＆lt; = [c＆＃39;（2k log 2k）] =＆GT; T（2k）＆lt; = O（√nlogn）

增长率：

（c