证明与归纳的复发关系

Question

我一直在接受我所接受的课程的任务。 有问题的作业：

使用归纳来证明当n> = 2时精确幂为2时，解的 复发：

T(n) = {2 if n = 2, 
        2T(n/2)+n if n =2^k with k > 1 }
is T(n) = nlog(n)

注意：赋值中的对数具有基数2.

这里的基本情况很明显，当n = 2时，我们得到2 = 2log（2） 但是，我坚持这一步，我不知道如何解决这个问题。

Answer 1

步骤。让我们假设对于所有m＆lt; = k，该语句适用于2 ^ m，让我们将其显示为2 ^ {k + 1}。

然后，T（2 ^ {k + 1}）= 2T（2 ^ k）+ 2 ^ {k + 1}。

通过归纳假设T（2 ^ k）= 2 ^ k * log（2 ^ k），即T（2 ^ k）= k * 2 ^ k（因为对数在此具有基数2）。< / p>

因此，T（2 ^ {k + 1}）= 2 * k * 2 ^ k + 2 ^ {k + 1} = 2 ^ {k + 1} *（k + 1），可写如2 ^ {k + 1} * log（2 ^ {k + 1}），完成证明。