归纳证明，背负式背包返回最优解

Question

我必须通过归纳证明

如果w

产生背包问题的最佳解决方案（动态规划方法）

我知道数学归纳法是如何工作的，但是我仍然坚持如何通过本练习来完成它。 特别是归纳步骤。 我想，作为基本案例，我只有一个元素，只要这个元素的重量小于或等于背包的容量，我就接受它。 否则我会离开它。

任何帮助将不胜感激！ 谢谢

Answer 1

要证明此算法的正确性，可以按照以下三个步骤进行操作

1. 证明该算法产生了可行的列表：

因为该算法描述了我们将做出最大的选择，并且我们将始终做出选择，所以我们有一个可行的列表

1. 证明该算法具有贪婪选择属性：

在这种情况下，我们想证明我们算法的第一选择可能是最优解决方案的一部分。

1. 证明该算法具有最佳子结构：我们可以通过假设形成两个列表来实现：

U（最佳列表）和P（我们的算法选择的列表）。我们可以假设这两个列表在某些时候必须不同。设差异点为Uj和Pj（即在索引j之后，P将包含与U不同的对象，U在索引j处结束）。因为在P中仅通过选择最大的元素来选择，所以与U相同的元素数量最多可达j，因此Pj + 1将使背包溢出，否则我们将使最优解U更好，这是不可能的。因此，该问题具有最佳的子结构。

这样我们可以证明算法是正确的。

Answer 2

如果问题可以分解为子问题，则它具有“最优子结构”，您可以使用递归找到子问题的最佳解决方案。您的问题具有最佳的子结构（任何DP可解决的问题也是如此！）。 here证明了使用归纳法，您的程序确实能产生最佳解决方案的证明。