用循环不变性证明了幂算法的正确性

Question

该算法计算x的pth幂并将结果存储在r中。我看它是如何运作的，但对我来说似乎会有两种情况（对于奇数和偶数p）。我找不到这个算法的循环不变量。

Answer 1

权利要求

r*x^p

在每一步都是不变的。

注意：该过程不应编译，因为它在返回值中包含隐式转换double到int。因此它也不符合其描述。

Answer 2

设p _i 表示循环的i ^th 迭代中变量p的值，其中p ₀ 是传递给函数的参数p的值。令r _i 表示循环的i ^th 迭代中变量r的值，并注意r ₀ 是1，恰好是x ⁰ （x上升到0 ^th 幂）。

前提是：p ₀ ≥0

不变量为：p _i ≥0且r _i ·x ^{p _i} = x ^{p <子> 0}

首先，通过归纳证明不变量。然后，找到一种方法来证明循环终止。

当循环终止时，存在迭代n，使得p _n = 0.因此，r _n = x ^{p ₀}