Question

什么是循环不变量？如何使用它们来证明堆排序算法的正确性？

Answer 1

循环不变量是非常简单但功能强大的技术，用于证明您的算法或一组指令是否正确。它们在迭代中运行得非常好。

我们设置了一个不变属性，这是您希望在整个执行过程中保持的迭代中的所需属性。例如，如果你开始使用正确的状态并在整个算法过程中保持它，那么你知道你有一个正确的算法

所以你需要通过3个步骤显示你有一个所需的属性，不变性：

我。 初始化：您是否可以在循环迭代的第一步中显示您具有算法的不变属性？

II。维护：您是否保持不变性？如果到那一点的迭代都是如此，下一次迭代是否属实？

iii。终止：当您的循环终止时，将使用不变量来表明您编写的算法是正确的。

让我们使用这些知识来证明BuildMaxHeap是正确的，因为它在HeapSort算法中使用。

BuildMaxHeap(A)
  heap-size[A] = length[A]
   for i : length[A]/2 to 1
       Max-Heapify(A, i)

源。 CLRS

例如，我们怎么知道最大堆的构建实际上构建了一个最大堆！如果我们的BuildMaxHeap算法正常工作，我们可以使用它来正确排序。

遵循我们的上述直觉，我们需要决定我们在整个算法中维护的所需属性。 MaxHeap中所需的属性是什么？ heap [i]＆gt; = heap [i * 2]。无论你有多乱用堆，如果它仍然具有该属性，那么它就是MaxHeap。

因此，我们需要确保用于排序的BuildMaxHeap算法在整个算法中保持不变。

初始化：在第一次迭代之前。一切都是叶子所以它已经是一堆了。

维护：让我们假设到目前为止我们有一个有效的解决方案。节点i的子节点编号高于i。 MaxHeapify也保留了循环不变量。我们在每一步都保持不变性。

终止：当i下降到0并且循环不变时终止，每个节点都是最大堆的根。

因此您编写的算法是正确的。

算法简介（CLRS）对此技术有很好的处理。

Answer 2

循环不变量是一个在循环执行期间不会改变的“定律” 在堆排序中 - 不变量是每个节点都有堆属性 - 也就是说，节点中的值大于其左右子节点的值。

Answer 3

BuildMaxHeap的正确性

•循环不变：在for循环的每次迭代开始时，每个节点i + 1，i + 2，...，n是最大堆的根。

•初始化： - 在第一次迭代之前i =⎣n/2⎦ -Nodes⎣n/2⎦+ 1，⎣n/2⎦+ 2，...，n是叶子，因此是平凡最大堆的根。

•维护： - 通过LI，节点i的子节点的子树是最大堆。 -Hence，MaxHeapify（i）将节点i渲染为最大堆根（同时保留更高编号节点的最大堆根属性）。 -crementing i重新建立下一次迭代的循环不变量。