Question

private static void swap(char[] str, int i, int j){
  char tmp = str[i];
  str[i] = str[j];
  str[j] = tmp;
}

public static void permute(String str){
  permute(str.toCharArray(), 0, str.length());
}

private static void permute(char[] str, int low, int high){
  if(low == high){
    System.out.println(str);
  } else {
    for(int i = low; i < high; i++){
      swap(str, low, i);
      permute(str, low+1, high);
      swap(str, low, i);
    }
  }
}

我为字符串置换实现了一个递归方法。但我有一个问题：如何通过使用归纳来证明此代码的正确性？我真的不知道。

Answer 1

首先，您必须具体说明正确性的含义（即您要检查代码的规范;另请参阅https://stackoverflow.com/a/16630693/476803）。让我们假设正确性在这里意味着

permute的每个输出都是给定字符串的排列。

然后我们可以选择执行归纳的自然数。对于递归函数permute，我们可以选择low或high之间或其中某些组合。

在阅读实现时，很明显输出字符串的前缀是其元素不会改变的。此外，该前缀的长度在递归期间增加，因此剩余的后缀（其长度为high - low）减小。因此，让我们在high - low上进行归纳（假设low <= high，这是合情合理的，因为最初我们使用0表示低high的某些字符串的长度，以及递归在low == high）后立即停止。也就是说，我们展示

事实： permute(str, low, high)的每个输出都是high - low的最后str个字符的排列。

基本案例：假设high - low = 0。然后该陈述是真实的，因为它必须保留最后0个字符（即，没有）。
步骤案例：假设high - low = n + 1。此外，作为归纳假设（IH），我们可以假设该陈述适用于n。从high - low = n + 1开始，我们high - (low + 1) = n（因为high必须严格大于low才能保留high - low = n + 1。因此，通过IH，permute(str, low+1, high)的每个输出都是high - (low + 1)的最后str个字符的排列。

现在我们必须要证明某些事情。即通过在permute(str, low+1, high)生成的输出中交换low个str个字符，low个字符high之后的任何字符（最多low），我们会在high和0之间生成字符排列。这一步（我在这里省略，因为我只是想证明你原则上如何使用归纳法）得出结论证明。

最后，通过low为str.length和high permute实例化上述事实，我们得到了非{}递归str是{{1}}的排列。

注意：以上证明仅显示每个输出一个排列。但是，知道实际所有排列都会打印出来也可能会很有趣。

如何证明递归算法的正确性？

1 个答案: