为什么图的邻接列表的BigO是（V + E）而不是（V ^ 2）？

Question

如果我的想法错了，请纠正我。我认为BigO（V + E）= BigO（V ^ 2）。

以下是我的想法：
完整图中的边= = *（n-1）/ 2。

从E和V切换到n，因为我更容易这样思考。

E = n *（n-1）/ 2
V = n

BigO（V + E）=＆gt; BigO（n + n *（n-1）/ 2）=＆gt; BigO（n ^ 2）

将n切换回V。

=＆GT;戈（V ^ 2）

我错过了什么吗？为什么要使用BigO（V + E）？为什么不使用BigO（V ^ 2）？

Answer 1

邻接列表的内存使用量与节点数和边数之和成正比。这是因为每个节点具有离开它的边缘的相关列表，并且每个边缘最多出现两次（对于在无向图中触摸的每个节点一次，或对于有向图一次）。这意味着空间使用率为Θ（V + E）。

你在内存使用上给出了两个不同的渐近界限：O（V + E）和O（V ² ）。这两个边界都是正确的，但一个比另一个更紧。 O（V + E）界限更准确地表明有两个半独立量进入空间使用，节点数和边数，并且更精确。 O（V ² ）界限不太精确，但通过考虑E的最大可能值（以V为单位）给出总内存使用情况的最坏情况界限。换句话说，O（如果你试图精确地确定内存使用量，那么V + E）绑定会更有用，但是如果你担心最坏情况的内存，O（V ² ）的界限会更好的使用。

（快速说明：声明“邻接列表是O（V + E）”并不是一个有意义的句子。由于big-O量化了函数的增长率，它就像是说“邻接列表是95,201” “ - 它没有意义，因为你将一个对象与一个数字进行比较。但是，你可以说”邻接列表的空间使用是O（V + E）“，因为邻接列表的空间使用是一个实际的数字量。 ）

Answer 2

BigO用于根据输入大小估算您将使用多少<time, memory, whatever resource>。

当您构建邻接列表时，您知道顶点数V和边数E。现在你想估计你需要多少内存。

O(V+E)可以解释为V > E ? O(V) : O(E)含义：它与max(V,E)线性复杂。

您为每个v创建一个列表，因此您可以使用O(V)内存。 您标记每个边缘，这使用O(E)内存。 O(V+E)就是这个意思。如果您认为复杂度为O(V^2)，则意味着对于具有2*n顶点的空图表，您应该使用约。与4顶点的空图形相比，n时间更多。

在对复杂性进行一些研究时，您可以测试不同的方法：

• 最坏的情况，
• 平均情况，
• 最好的情况。

如果您希望收到更多信息，请阅读有关该主题和评论的不同方法。

修改

根据正式定义，O(V+E)，O(V^2)，O(V^3)和O(V^V^V)仍然是正确的。在BigO中，我们尝试找到效率最慢的函数，但仍然是BigO的复杂性。

Answer 3

这两个陈述都是正确的。它们并不矛盾。

在任意图上，资源使用为O（V ² ）。但是在可能存在稀疏图的问题域中，资源使用是O（V + E）。这提供了更多信息。

邻接列表通常用于图表可能稀疏的问题域中。对于密集图，阵列通常是更好的解决方案。如果您正在考虑两种可能的算法来解决图形问题，则需要考虑您对图形的了解。学位是否受到限制？在这种情况下，邻接列表表示和相关算法可能是更好的解决方案。

复杂性分析不仅仅是一种理论游戏。这是一种组织您对实际编程问题的实际解决方案的思考的方法。