为什么TSP NP难以在汉密尔顿路径NP完全？

Question

为什么这两个问题，即TSP和Hamiltonian path problem都不是NP完全？

它们看起来很相似。

Answer 1

对于问题X NP-complete ，它必须满足：

1. X在NP 中，给定X的解，可以在多项式时间内验证解。
2. X在NP-hard 中，也就是说，每个NP问题在多项式时间内都可以减少（你可以通过减少已知的NP难问题（例如哈密顿路径）来实现这一点） ）。

旅行商问题（TSP）有两个版本：

1. 优化版本（可能是您正在查看的版本），即找到TSP的最佳解决方案。这不是决策问题，因此不能在NP中，但它在NP-hard中可以通过Hamiltonian Path reduction来证明。因此，这不是NP完全问题。
2. 决策版本 - 给定整数K是否存在通过长度＆lt;的图形中的每个顶点的路径。 K +这是一个决定（是/否）问题，并且可以在多项式时间内验证解决方案（只是遍历路径并查看它是否接触到每个顶点），因此它在NP中，但它也在NP-hard（通过与上述相同的证据）。由于它满足NP完全性的两个要求，因此它是NP完全问题。

Answer 2

NP-硬度和NP-完整性的定义是相关的但不同。具体来说，如果NP中的每个问题在多项式时间内减少到NP，那么问题是NP难的，如果它既是NP难的又是NP本身的问题就是NP完全的。

NP类由决策问题，有/无答案的问题组成。因此，TSP不能在NP中，因为预期的答案是数字而不是是或否。因此，TSP可以是NP难的，但它不能是NP完全的。

另一方面，汉密尔顿路径问题要求是/否答案，而恰好是在NP中。因此，既然它也是NP难的，它就是NP完全的。

现在，您可以通过更改“最便宜的路径是什么？”中的问题来将TSP转换为决策问题。 “是否存在成本为X或更低的路径？”，后者的配方是NP，也恰好是NP完全的。