渐近地比较n ^（10 log n）和（log n）^ n

Question

我将此问题作为计算机科学（数据结构）中的家庭任务：找到并比较以下函数的大O复杂性：

• f（n）= n ^{10 log n}
• g（n）=（log n） ⁿ

我已经尝试了很多事情，比如注意n ^{10log n} = O（n ⁿ ）和那个（log n） ^{n < / sup> = O（n 2 ），但这对我没有帮助。关于如何解决这个问题的任何建议？}

Answer 1

如果指数具有相同的基数，则比较指数总是更容易。请注意，对于任何数字n，我们都有

  

n = 2 ^{log n} 。

从此我们得到

  

n ^{10 log n} =（2 ^{log n} ） ^{10 log n} = 2 ^{10 log 2 n}

和

  

（log n） ⁿ =（2 ^{log log n} ） ⁿ = 2 ^{n log log n}

从这里我们得到n ^{10 log n} = o（（log n） ⁿ ）使用little-o表示法。