（log（n））^ log（n）和n / log（n），哪个更快？

Question

f(n)=(log(n))^log(n)

g(n)= n/log(n)

f = O(g(n))？

Answer 1

记录双方的日志：

log（f（n））= log（log n）* log n

log（g（n））= log（n） - log（log（n））= log（n）（1 - log（log（n））/ log（n））

显然log（log（n））占主导地位（1 - log（log（n））/ log（n）），因此g是O（f）。 f不是O（g）。由于它是家庭作业，您可能需要填写详细信息。

通过大量尝试，也可以很容易地了解答案应该是什么。 1024是2 ^ 10，所以取n = 1024：

f（n）= 10 ^ 10

g（n）= 1024/10。

显然这不是证明，但我认为我们可以看到谁赢了这场比赛。

Answer 2

当且仅当 f（e ⁿ ） f（n）比 g（n）增长得更快>也比 g（e ⁿ ）增长得快，因为exp严格增加到无穷大（自己证明）。

现在 f（e ⁿ ）= n ⁿ 和 g（e ⁿ ）= e ⁿ / n ，您可以引用已知结果。

Answer 3

如果限制[f [x] / g [x]，x - >无穷大] =无穷大，然后f [x]比g [x]增长得快。

限制[Log [x] ^ Log [x] /（x / Log [x]），x - ＆gt;无穷大] = +无穷大

因此，Log [x] ^ Log [x]比x / Log [x]

增长得更快

Answer 4

Mathematica给出了f(n) / g(n)的限制，因为n趋向无穷大为无穷大，这意味着f增长得更快。这意味着g(n) belongs to (=) O(f(n))。

如果您没有Mathematica，可以使用this。

Answer 5

f要大得多。截至n^loglog(n) -1 . log n