我发现了关于分析算法的这条规则：
O(max{f(n),g(n)}) = O(f(n)+g(n))
如何证明这一点？
我知道：
max{f(n),g(n)} <= f(n)+g(n) <= 2 * max{f(n),g(n)}
因此：
max{f(n),g(n)} is O(f(n)+g(n))
max{f(n),g(n)} is O(max{f(n),g(n)})
f(n)+g(n) is O(max{f(n),g(n)})
但是
如果a是O（b）而b是O（a）那么O（a）= O（b）？
答案 0 :(得分：5)
为了证明 O（max {f（n），g（n）}）= O（f（n）+ g（n）），我们可以使用{{3} }：
f（x）= O（g（x））当且仅当存在正实数 M 且实数 x
0 这样的 | F（X）|所有x≥x 0 的≤M| g（x）| 。
此定义中应用的绝对值确实是一个理论问题，因为在实践中，只有函数用于大O符号formal definition of big-O足够大的x。指定负的大O复杂度是没有意义的。所以我不会在这个答案的其余部分使用那个绝对值，但假设函数产生正值。
要掌握 big-O 的概念，可能需要阅读这篇关于always give positive values的简短文章。
使用上面的定义，我们可以说一些函数 s（n）：
s(n) is O(f(n)+g(n))当且仅当有 M 这样的话
|s(n)| ≤ M(f(n) + g(n))足够大 n ，相当于：
|s(n)| ≤ M·max{f(n), g(n)} + M·min{f(n), g(n)}足够大 n 。
对于相同的 M ，以下也是如此 - 这里我们依赖于假设 f（n）和 g（n） 对于大型 n ：
是正面的 |s(n)| ≤ 2M·max{f(n), g(n)}足够大 n 。
如果我们现在选择 P 为 2M ，那么我们可以说我们有一个 P ：
|s(n)| ≤ P·max{f(n), g(n)}足够大 n 。
...根据big-O的定义意味着
s(n) is O(max{f(n), g(n)})∎
s(n) is O(max{f(n), g(n)})当且仅当有 P 这样的话
|s(n)| ≤ P·max{f(n), g(n)}足够大 n 。
因为对于正数（参见假设）max{f(n), g(n)} < f(n)+g(n)，这意味着以下情况肯定是正确的（我们增加了不平等的右手）：
|s(n)| ≤ P(f(n) + g(n))足够大 n 。
...根据big-O的定义意味着
s(n) is O(f(n)+g(n))∎
以上证明，如果任何函数是 O（f（n）+ g（n））那么它也必须是 O（max {f（n），g（n） ）}），反之亦然。这就像说大O复杂度都是一样的：
O(f(n)+g(n)) = O(max{f(n),g(n)})
请注意，这不是关于函数的等价，而是关于big-O表达式的等价。
实际上，您可以将big-O表达式视为一组函数，即那些具有相应大O复杂度的函数集。那么以上证明：
s(n) ∈ O(f(n)+g(n)) ⇔ s(n) ∈ O(max{f(n),g(n)})
这意味着两个O组都是相同的。
我们需要（实际）假设 f（n）和 g（n）对于足够大的 n 总是为正。它们在some的某些子集上可能是负数和/或未定义，但必须有 n ，其上 f（n）和 g（n）总是产生非负面结果。如果不是这种情况，那么可以通过一个简单的反例来证明这个前提是错误的：
g(n) = n
f(n) = -n
然后前提O(max{f(n),g(n)}) = O(f(n)+g(n))成为：
O(n) = O(0)
显然是假的。这是因为 f（n）违反了这个假设，并且对于大 n 总是为负。但同样，负面复杂性也没有实际意义。
要明确：这些大O函数在strong的某些子集上可能是负面的，甚至是未定义的。只要上面有一个 n ，它们总是产生一个非负数，它们就符合这个假设。
在subset的子集上产生负面结果和/或未定义的允许函数的示例：
n
log(n)
n³
sqrt(n)
违反假设的函数示例：
sin(n)
cos(n)
tg(n)
-n
答案 1 :(得分：0)
这个答案假设f（n），g（n）> = 0，对于所有n> = 0.我使用这些假设，因为没有算法（我知道）可以在任何情况下具有负空间或时间使用情况。
你无法知道f（n）和g（n）是什么，所以你不能选择任何一个作为上限。
因此，唯一保留比f（n）和g（n）都大f(n)+g(n)的选项。
答案 2 :(得分：0)
如果我们假设f（n）＆amp;对于n的所有值，g（n）> = 0，则它们的总和将大于它们中的任何一个。没有这个假设，这种关系就不会成立。我们可以在逻辑上尝试一些例子。
Max(f(n) = 1 & g(n) = 3) < ((f(n) + g(n) = 4)
Max(f(n) = 5 & g(n) = 0) = ((f(n) + g(n) = 5)
Max(f(n) = 0 & g(n) = 8) = ((f(n) + g(n) = 8)
So f(n) + g(n) will always upperbound O(Max(f(n),g(n)))
i.e. O(Max(f(n),g(n))) = O(f(n) + g(n))
我们还可以证明这一事实： Max（f（n），g（n））＆lt; （（f（n）+ g（n））＆lt; = 2 * Max（f（n），g（n））容易因为我们总是取最大值2。 有两种情况
1：两个值都不同：在这种情况下，总和将小于 最多两次
Max(f(n) = 4 & g(n) = 1) < ((f(n) + g(n) = 5) < 2*Max(f(n) = 4 & g(n) = 1)
Max(f(n) = 3 & g(n) = 0) = ((f(n) + g(n) = 3) < 2*Max(f(n) = 3 & g(n) = 0)
1：两个值都相同：在这种情况下，总和将是最大值的两倍
Max(f(n) = 1 & g(n) = 1) < ((f(n) + g(n) = 2) = 2*Max(f(n) = 1 & g(n) = 1)
Max(f(n) = 0 & g(n) = 0) = ((f(n) + g(n) = 0) = 2*Max(f(n) = 0 & g(n) = 0)
因此
i.e. Max(f(n),g(n)) < ((f(n) + g(n)) <= 2*Max(f(n),g(n))