Question

基于比较的排序是 nlog（n） 的大o，所以我们知道mergesort不能 O（n） 即可。不过，我无法通过以下证据找到问题：

提案 P（n） ：对于长度 n 的列表，mergesort需要 < em> O（n） 时间。

P（0） ：空列表中的合并排序只返回空列表。

强烈归纳：假设 P（1），...，P（n-1） 并尝试证明 P（n） 即可。我们知道在递归mergesort的每一步，两个大约“半列表”被合并，然后“压缩”。通过归纳，每个半列表的合并排序采用 O（n / 2）时间 。压缩需要 O（n） 时间。因此该算法具有 M（n）= 2M（n / 2）+ O（n） 的递归关系，其 2O（n / 2）+ O（n） ， O（n） 。

Answer 1

比较线性搜索为O（1）的“证明”。

空数组的线性搜索是O（1）。
非空数组上的线性搜索比较第一个元素（O（1）），然后搜索数组的其余部分（O（1））。 O（1）+ O（1）= O（1）。

这里的问题是，为了使归纳起作用，必须有一个大O常数，它既适用于假设，也适用于结论。这在这里是不可能的，你的证据是不可能的。

Answer 2

“证明”仅涵盖单次传递，但不包括 log n 传球次数。

重复次数仅显示通过的成本与上一次通过的成本相比。为了正确，递归关系应该具有累积成本而不是增量成本。

通过查看http://en.wikipedia.org/wiki/Merge_sort

处的示例合并排序，您可以查看证明所在的位置

Answer 3

以下是关键：所有引用n的特定值的归纳步骤必须引用特定函数T（n），而不是O（）表示法！

O（M（n））表示法是关于整个函数从问题大小到性能保证的行为的陈述（渐近地，n增加无限制）。您的归纳的目标是确定性能界限T（n），然后可以将其简化（通过将常数和低阶因子降低）到O（M（n））。

特别是，你的证明的一个问题是，你无法从你的陈述中纯粹地将O（）回到关于给定n的T（n）的陈述。 O（）表示法允许您忽略整个函数的常量因子;在递归构造相同的函数时，它不允许你一遍又一遍地忽略常量因子......

通过演示：

，您仍然可以使用O（）表示法来简化证明

T(n) = F(n) + O(something less significant than F(n))

以通常的归纳方式传播这个谓词。但是你需要保持F（）的常数因子：这个常数因素直接影响你的分而治之的复发！

这个归纳证明，mergesort是O（n）有什么问题？

3 个答案: