Question

我最近参与辩论/辩论，我正在努力对正确的解决方案作出明确的判决。

众所周知，n! grows very quickly，但确切有多快，足以隐藏＆＃34;可能添加到其中的所有其他常量？

我们假设我有这个愚蠢的＆amp;简单的程序（没有特定的语言）：

for i from 0 to n! do:
    ; // nothing

鉴于输入为n，其复杂性显然是 O(n!) （甚至 ϴ(n!) 这里并不相关。）

现在让我们假设这个程序：

for i from 0 to n do:
    for j from 0 to n do:
        for k from 0 to n! do:
            ; // nothing

Bob 声称：＆＃34;此计划的复杂性显然是 O(n)O(n)O(n!) = O(n!n^2) = O((n+2)!) 。＆＃34;

Alice 回复：＆＃34;我同意你的看法，但实际上，如果你说复杂性是O(n!)，那么足够 < em> O(n!n^k) = O(n!) 适用于任何k >= 1常量。＆＃34;

爱丽丝是否正确地记录了鲍勃的分析？

Answer 1

爱丽丝错了，鲍勃是对的。

使用限制时，回想一下大O符号的等效定义：

f(n) is in O(g(n)) iff 
lim_n->infinity: f(n)/g(n) < infinity

对于任何k>0：

lim_n->infinity: (n!*n^k) / n! = lim_n->infinity n^k = infinity

因此，n!*n^k不在O(n!)

中

Answer 2

Amit解决方案是完美的，我只会添加更多“人类”解决方案，因为理解定义对于初学者来说可能很难。

定义基本上说 - 如果你增加了值n，方法f(n)和g(n)“仅”k - 次，{{1} }是常量且不会改变（例如，k总是大约100倍，无论g(n)还是n=10000），这些函数都具有相同的复杂性。

如果n=1000000 g(n)高100倍，n=10000高出80倍，则n=1000000复杂度更高！因为随着f(n)的增长和增长，n最终会在某个时刻到达f(n)，然后与g(n)相比会越来越多。在复杂性理论中，你感兴趣的是，它将如何以“无穷大”（或更可想象的极高值n）结束。

如果您比较g(n)和n!，您可以看到，对于n!*n^2，第二个函数的值高n=10倍。对于10^2=100，其价值高出n=1000倍。正如你可以想象的那样，差异将会增大。

哪个Big-O渐近增长更快

2 个答案: