哪个函数增长得更快，指数或因子？

Question

哪个函数增长得更快，指数（如2 ^ n，n ^ n，e ^ n等）或阶乘（n！）？ Ps：我刚读到某个地方，n！增长速度超过2 ^ n。

Answer 1

N！最终比具有常数基数（2 ^ n和e ^ n）的指数增长更快，但是n ^ n比n增长更快！因为随着n的增加，基数会增长。

Answer 2

n! = n * (n-1) * (n-2) * ...

n^n = n * n * n * ...

n^n中第一个术语后的每个术语都较大，因此n ^ n会增长得更快。

Answer 3

分数时间算法的渐近运行速度比指数时间算法慢，但尚不清楚何时开始出现差异。例如，对于n=5和k=10，5!=120仍然比10^5=10000快。为了找出指数时间算法何时开始表现更好，我们必须进行一些快速的数学分析。

我们可以使用斯特林公式：

log_k^(n!) ~ nlog_k^n - nlog_k^e

k^n = n!
log_k^{k^n} = log_k^{n!}
n = log_k^{n!}

n ~ nlog_k^n - nlog_k^e
1 ~ log_k^n - log_k^e
log_k^n - log_k^e - 1 ~ 0
log_k^n - log_k^e - log_k^k ~ 0
log_k^{n/(ek)} ~ 0

n/(ek) ~ 1
n ~ ek

因此，一旦n的大小几乎是k的3倍，阶乘时间算法的运行速度将比指数时间算法慢。对于大多数现实情况，我们将使用n的大值和k的小值，因此在实践中，我们可以假设阶乘时间算法严格地比指数时间算法差。

Answer 4

我想向您展示一种更加图形化的方法，以非常容易地证明这一点。我们将使用除法绘制函数图形，这将很容易向我们展示。

让我们使用一个基本且无聊的除法函数来解释除法的性质。

随着增加，对该表达的评估也增加。随着b的减小，对该表达式的评估也随之减小。

使用这种想法，我们可以根据期望增加和减少的情况绘制图表，并比较增加速度更快的情况。

在我们的例子中，我们想知道指数函数的增长是否快于阶乘，反之亦然。我们有两种情况，常数对变量指数与可变阶乘，变量对变量指数与可变阶乘。

用Desmos绘制这些工具的图形（没有从属关系，这只是一个不错的工具），向我们展示了这一点：

常数到变量指数与变量阶乘的关系图

尽管起初似乎指数表达增加得更快，但它达到了不再以如此快的速度增长的程度，取而代之的是阶乘表达增加得更快。

从变量到变量指数与变量阶乘的图

尽管起初看起来较慢，但它开始迅速上升超过该点，因此我们可以得出结论，指数的增长必须快于阶乘。

Answer 5

Stirling's approximation指出

$$ n！ \ approx \ sqrt {2 \ pi n} \ left（\ frac {n} {e} \ right）^ n $$