Question

我遇到了问题：

f(n) are asymptotically positive functions. Prove f(n) = Θ(g(n)) iff g(n) = Θ(f(n)).

我发现的所有内容都指出此声明无效。例如，我遇到的答案是：

f(n) = O(g(n)) implies g(n) = O(f(n))
f(n) = O(g(n)) means g(n) grows faster than f(n). It cannot imply that f(n) grows
faster than g(n). Hence not true.

另一个州：

 If f(n) = O(g(n)) then O(f(n)). This is false. If f(n) = 1 and g(n) = n 
 for all natural numbers n, then f(n) <= g(n) for all natural numbers n, so
 f(n) = O(g(n)). However, suppose g(n) = O(f(n)). Then there are natural
 numbers n0 and a constant c > 0 such that n=g(n) <= cf(n) = c for all n >= 
 n0 which is impossible.

我知道我的确切问题和我找到的例子之间存在细微差别，但我只能提出不能证明这一点的解决方案。我认为它无法被证实或者我正在查看一些细节，这是正确的吗？

Answer 1

你可以从这里开始：

形式定义：f（n）=Θ（g（n））表示存在正常数c1，c2和k，使得0≤c1g（n）≤f（n）≤c2g（n） n≥k。

因为你有iff，你需要从左侧开始并证明右侧，然后从右侧开始并证明左侧。

左 - ＆gt;右

我们认为：

f(n) = Θ(g(n))

我们要证明

g(n) = Θ(f(n))

因此，我们有一些正常量c1，c2和k，以便：

0 ≤ c1*g(n) ≤ f(n) ≤ c2*g(n), for all n ≥ k

f和g之间的第一个关系是：

c1*g(n) ≤ f(n) => g(n) ≤ 1/c1*f(n) (1)

f和g之间的第二个关系是：

f(n) ≤ c2*g(n) => 1/c2*f(n) ≤ g(n) (2)

如果我们合并(1)和(2)，我们会获得：

1/c2*f(n) ≤ g(n) ≤ 1/c1*f(n)

如果您考虑c3 = 1/c2和c4 = 1/c1，它们就存在并且是正面的（因为分母是正数）。对于所有n ≥ k（其中k可以是相同的），情况都是如此。

因此，我们有一些正常量c3，c4，k，以便：

c3*f(n) ≤ g(n) ≤ c4*f(n), for all n ≥ k

表示g(n) = Θ(f(n))。

类似于右 - ＆gt;左

证明f（n）=Θ（g（n））iff g（n）=Θ（f（n））

1 个答案: