给定无向连通图G = {V，E}，V（G）中的顶点，标记为v，权重函数f：E-> R +（正实数），我需要找到一个MST使得v的程度很小。我已经注意到，如果所有边缘都具有独特的重量，那么MST是独一无二的，所以我认为它与边缘上的重复权重有关。我虽然关于运行Kruskal的算法，但是在对边缘进行排序时，我总是会考虑在v last上出现的边缘。例如，如果（a，b），（c，d），（v，e）是权重k的唯一边，那么排序边数组中这些边的可能排列是：{（a，b）， （c，d），（v，e）}或{（c，d），（a，b），（v，e）}。我在几张图表中运行了这种变化，它似乎有效，但我无法证明这一点。有谁知道如何证明算法是正确的（意义证明v的程度是最小的），或者给出一个相反的算法失败的例子？
答案 0 :(得分：1)
首先请注意，Kruskal的算法可以应用于任何加权图，无论它是否连接。通常，它会产生最小权重跨越林（MSF），每个连接组件有一个MST。为了证明您对Kruskal算法的修改成功找到v具有最小程度的MST，有助于证明稍微强一些的结果，即如果将算法应用于可能断开连接的图形，那么它会成功找到最小化v度的MSF。
证据是通过对不同权重的数字k进行归纳。
基础案例（k = 1）。在这种情况下，可以忽略权重，我们正在尝试查找v度最小化的生成林。在这种情况下，您的算法可以描述如下：根据以下两个规则尽可能长地选择边缘：
1）没有选定边形成具有先前选定边的循环
2）除非任何边缘没有选择，否则不会选择涉及
v的边缘 涉及v违反规则1.
让G'表示从v移除G和所有事件边缘的图表。很容易看出，这种特殊情况下的算法的工作原理如下。首先为G'创建生成林。然后，它会将原始图v's中G连接组件中包含的林中的树包含在内，并通过单个边将每个组件连接到v。由于在第二阶段连接到v的组件可以以其他方式相互连接（因为如果存在任何不涉及v的连接边缘，它将被规则2选中）这很容易看v的程度是最小的。
归纳案例：假设k的结果为真，而G是k+1不同权重的加权图，v是{{1}中的指定顶点}}。按递增顺序对不同的权重进行排序（以便权重G是不同权重中最长的权重 - 例如k+1）。设w_{k+1}为G'的子图，其顶点集相同但权重G的所有边都已删除。由于边缘按重量增加的顺序排序，请注意修改后的Kruskal算法启动，方法是将自身应用于w_{k+1}。因此 - 通过在考虑权重G'的边缘之前的归纳假设，该算法成功地构建了w_{k+1}的{{1}}，其F'度{ G'中的{1}}被最小化。
作为最后一步，应用于整体图d'的修改后的Kruskal将通过添加权重v的边缘将G'中的某些树合并在一起。概念化最后一步的一种方法是将G视为一个图，其中当第一棵树中的某个节点到第二棵树中的某个节点存在权重F'的边缘时，两棵树正好相连。树。我们（几乎）有w_{k+1}的基础案例。修改后的Kruskal将添加重量F'的边缘，直到它不再这样做 - 并且不会添加连接到w_{k+1}的边缘，除非没有其他方法连接到需要连接的F'中的树，以获取原始图w_{k+1}的生成林。
结果MSF中v的最终度数为F'，其中G是在最后一步添加的权重v的边数。 d = d'+d"和d"都不能做得更小，因此w_{k+1}不能做得更小（因为任何跨越森林中d'的程度都是如此可以写为权重小于d"进入d的边数和加权v进入w_{k+1}的边数的总和。）< / p>
QED。
在这方面还有一个挥手的元素，特别是在最后一步 - 但Stack Overflow不是同行评审期刊。无论如何，整体逻辑应该足够清楚。
最后一句话 - 似乎相当清楚Prim的算法可以针对这个问题进行类似的修改。你看过那个吗？