最小化生成树，最小化特定节点的程度

Question

我们如何才能找到最小化节点v（在所有最小生成树中）的最小生成树？

修改Kruskal算法会使得如果有多个边具有相同的权重，我们会选择不触及v的那个边来解决问题吗？

Answer 1

为了部分回答这个问题，修改问题中草绘的Kruskal算法并不能解决问题。考虑图G=(V,E,w)其中

V = {1,2,3},
E = {{1,2}, {2,3}, {3,1}},
w({1,2}) = 1,
w({1,3}) = 1,
w({2,3}) = 2

和1是最小生成树中度数最小化的节点。然后，边集

S1={{1,2},{1,3}}

构成权重2的最小生成树。但是，Kruskal算法的修改版本不会失去通用性选择边{1,2}，这将导致{1,3}被禁止，从而选择{2,3}。总计，在选定的边集中

S2={{1,2},{2,3}}

节点1的程度低于S2，但S2的总权重为3，这意味着它不构成最小生成树。

此外，请注意，要最小化的节点v的度数必须至少为3才有可能在最小跨度中有多个v邻域树。

在详尽搜索中，选择任何可能的v邻域。由于v最多有n个邻居，因此最多只有2^n个邻居。使用Prim的算法，将每个算法扩展到生成树，这对于包含v的选定邻域而言成本最低;在所有这些成本最低的解决方案中，选择v度最小化的解决方案。但是，该方法不会产生多项式时间算法。