MST切割时的最小重量

Question

设G是具有明显边权重的无向图。 设T为G中的MST。 设（u，v）为T中的任何边。表示存在切割（S; V-S），使得（u; v）是此切割中的最小权重边缘。

Answer 1

我会给它一个拍摄，让我们考虑切割使得e =（u，v）是它的唯一边缘属于T.假设在切割中有另一个边缘e'与w（e'）＆lt ; w（e），然后我们可以形成另一个ST，包括e'和丢弃e，这将具有更小的权重，荒谬。

Answer 2

我们从| V |开始削减。我们在每个循环中合并两个切口。最后我们最终得到了1分。 MST是此切割中边缘的子集。因此，对于每次合并，我们选择（一个）该切割的光边（u，v）。最后，我们有| V | -1边。相反，对于树中的每个边缘，都有一个“桥接”的切口。因此，如果边缘（u，v）在MST中，则有一个切口（S，V-S）对应于它是光边缘。