用于找出诱导子图是否完整的快速算法

Question

我有一个无方向的未加权图G =（V，E）和一个随机选择的顶点子集S.我想检查S中的顶点是否相互邻近（即形成一个完整的子图/一个集团）。

我有以下算法（伪代码）：

foreach vertex in S  {
  // Check that the vertex has enough edges
  if (vertex.edges.count < S.size - 1)
    return false;

  // Check that there is an edge to each vertex in S
  foreach vertex2 in S  {
    if (!vertex.hasEdgeTo(vertex2))
      return false;
  }
}
return true;

问题是该算法的最坏情况性能是O（| V | ² ）（如果子集S包含完整图的所有顶点）。

我的问题是：是否有更快的算法运行，具有更好的大O最坏情况复杂度？

Answer 1

假设您可以检查两个顶点是否在O(1)中发生事件，则在最坏的情况下，您的算法的时间复杂度为O(|V|²) = O(|E|)。我认为你不能比O(|E|)做得更好，因为你应该检查子图的所有边缘。

Answer 2

我不相信你会得到一个非O（| E | ^ 2）算法来执行这项检查。逻辑上，必须寻求每个V1-V2边缘以证明完整性。分成两个循环，第一个检查边缘计数，第二个检查顶点连接，这可能会加速算法。也许另一种表示图形的方法（有边而不是顶点）会有帮助吗？

Answer 3

您的hasEdgeTo表现如何？如果使用基于树的集来存储边，则该函数不仅仅是O（1）。

通过对边缘使用位向量，可以使用O（| S | * min（| E |，| V |，| S |））。