找到最大重量的子图

Question

我有一个城市区域（让我们把它想象成街道图），所有街道都有一些重量和长度。我想要做的是找到一组连接的街道，位于其他街道附近，最大（或接近最大）总重量W，因为我的最大子图最多只能包含N条街道。

我特别对一个跨越整个图表的子图不感兴趣，而只是一小群街道的最大或接近最大组合重量，并且所有街道彼此“靠近”，其中“ “将被定义为没有距离集群中心超过X米的街道。必须连接所得到的子图。

有人知道这个算法的名称是否存在？

也对任何解决方案，精确或近似感兴趣。

要在视觉上显示，请假设我的图表是下图中所有街道段（交叉点到交叉点）。因此，个别街道不是A大道，而是大道A在10日到11日之间，依此类推。 Street的权重为1或0.假设具有最大权重的街道集在选定的多边形中 - 我想要做的是找到此多边形。

Answer 1

这是一个提案。将节点图中的每个顶点视为＆＃34; center＆＃34;正如你所定义的那样。对于每个中心C[i]，请以C[i]为原点执行Dijkstra's algorithm to construct a shortest path tree。当它包含一个超过中心允许的最大值的顶点时，停止构造树。

然后让A[i]成为以V[i]为中心的树中顶点的所有边的集合。结果将是具有最大权重的集合A[i]。

对于O(|E[i]| + |V[i]| log |V[i]|)中心，一次执行Dijkstra算法的运行时间为i。这里的集合的大小受到距离中心的最大距离的限制。总费用为sum_(i in 1..|V|) O(|E[i]| + |V[i]| log |V[i]|)。在退化的情况下，最大允许重量允许从每个中心包含整个图形，成本将为O(|V| (|E| + |V| log |V|))。

我可以考虑一些可能的优化来改善运行时间，但是想要验证这可以解决你想到的问题。

Answer 2

这是一个针对该问题的整数编程精确公式，假设您拥有有限数量的总街道S，并且群集的“中心”可以是有限数量的街道之一S.如果您正在查看连续欧几里德空间中的聚类中心，它将把我们带入Weber Problem的领域。这可能仍然可行，但我们必须查看column-generation formulation。

目标函数可最大化j索引的所选街道的权重。约束（1）指定只选择一个中心。约束（2）指定对于任何潜在的中心i，仅选择N个街道作为邻居。约束条件（3）规定，只有选择了相应的中心，才选择街道作为某个社区的一部分。其余的是二进制整数约束。

如果选择作为中心的街道计为N街道之一，则可以通过指定y_{ii} = x_i

来轻松实施

注意：如果上述表述正确，或准确捕捉到问题，一旦确定N_i已设定，就可以轻松解决[MIP]。

依次考虑每个i。从N_i按重量降序选择前N个相邻街道。这是您的现有解决方案。如果在迭代i时找到更好的解决方案，请更新现有解决方案。