找到最好的子图

Question

我正在尝试解决以下问题：

给定连通图G =（V，E）和顶点t∈V，我需要找到子图G'=（V'，E'），其中t∈V'。 G'应该最大化一些目标函数并最小化它包含的顶点数。

Max f(G')
Min |V'|

在这个多目标优化问题中，最大化f（G'）比最小化顶点数更重要。

让我们检查一下类似问题的实际情况：

假设我们必须在建筑物中设计一个ad hoc无线网络，其中客户端设备具有固定的位置，并且只有一个AP连接到有线网络。最初，我们在每个房间放置一个AP，并使用传播模型计算可以连接的AP和它们提供覆盖的客户端设备。在这个初始分发中，可能有几个AP将为同一客户端设备提供覆盖，因此我们需要对其进行优化。

图1.红点表示连接到有线网络的AP，黑点表示其余AP。 AP之间的实线向我们展示了它们的连接方式。

在图1中形成AP连接的图表表示我们问题的连接图G，连接到有线网络的AP是节点t。优化表示此初始网络设计的图表意味着找到包含连接到有线网络的AP的子图，并最大化覆盖客户端设备的百分比（最大f（G'）），从而最大限度地减少AP的数量（Min | V'| ）。与问题一样，最大化覆盖客户端设备的百分比是主要目标。

图2.可能的解决方案。

使用强力算法，它似乎是NP完全性问题;找到最佳解决方案需要检查所有潜在的子图（所有子图都包含节点t）并证明可能的解决方案。你怎么看？

Answer 1

这是NP完全的。如果 G'是 k 顶点上的完整图形，则 f（G'）= 1，否则为0。现在这个问题只是发现 G 是否有一个大小为 k 的集团。