找到最大权重子图

Question

我的图如下：

我需要找到最大权重子图。

问题如下：

有n个Vectex群集，并且在每个Vextex群集中都有一些顶点。对于不同顶点群集中的两个顶点，存在加权边，而在同一Vextex群集中，顶点之间没有边。现在我 想要通过在每个顶点中仅找到一个顶点来找到最大权重子图 顶点簇。然后通过将选定顶点之间的所有边的权重相加来计算总权重。我添加一张图片来解释问题。现在，我知道如何通过ILP方法对该问题建模。但是，我不知道如何通过一种近似算法来解决它，以及如何获得其近似比率。

您能提供一些解决方案和建议吗？

非常感谢。如果本说明中有任何不清楚之处， 请随时问。

Answer 1

我认为您找不到alpha的{​​{1}}-近似值。这是因为，如果存在这样的近似值，那么还将证明unique games conjecture(UGC)是错误的。证明（或证明）UGC是一项相当大的成就：-)
（而且我实际上是UGC的信徒之一，所以我说这是不可能的：p）

减少非常简单，因为可以将任何UGC实例描述为您的问题，并且权重为alpha或0。

我可以看到多项式逼近是1-近似值（簇数1/k），使用最大权重完美匹配（PM）算法（我们假设簇数是偶数，如果很奇怪，只需添加一个“无用”的1个顶点，每个地方0个权重）。

首先，您需要构建一个新图。每个群集一个顶点。边缘k的权重具有u, v边缘从簇max w(e)到簇e的权重u。在此图上运行最大重量PM。

然后，您可以为每个群集选择一个顶点，该顶点对应于PM中选择的边缘。
从PM中提取的溶液的总重量至少与PM的重量一样大（因为它包含PM的边缘+其他边缘）。

然后您可以得出结论，这大约是v，因为如果存在比PM重量大1/k倍的问题的解决方案，那么PM并不是最大的。

解释很短（我会说 lapidaire ），请告诉我是否有一部分您不了解/不同意。

编辑：与UGC等效：说明了唯一的标签封面。
想想一个UGC实例。然后，UGC实例中的每个节点都将由一个群集表示，该群集中的节点与UGC实例中的颜色一样多。然后，如果权重为k的边与UGC中的边不对应，或者与“不良颜色匹配”相对应，则创建权重为0的边。如果它们符合良好的色彩匹配，则将其权重设置为1。 然后，如果找到问题实例的最佳解决方案，则表示它对应于相应的UGC实例的最佳解决方案。
因此，如果教资会成立，那就意味着要解决您的问题很困难。