具有最小边缘权重和节点权重的子图> = Val

Question

我遇到了这个问题 - 在无向图中，每个节点和边都有一个权重。所有权重都是非负的。给定值S，找到具有最小边权重和的连通子图，使得其节点权重之和至少为S.

最明显的解决方案是考虑所有可能的子图的蛮力方法。但时间复杂度是指数级的。有没有更好的算法呢？我的直觉是我们可以将节点权重转换为边权重，然后应用生成树算法。但我无法清楚地解决它。如何解决这个问题？

编辑：看起来我对子图的描述不够清楚。选定的子图必须是单个连接的组件。我希望现在很清楚。

Answer 1

我认为通过减少Steiner树问题，这个问题是NP难的。给定图G和需要跨越的一组节点S，将S中所有节点的权重设置为1，将所有其他节点的权重设置为0.节点权重至少为| S |的子图。最小总边缘成本必须是树（如果有任何周期，从循环中删除边缘只会降低成本）并且必须连接所有需要跨越的节点。因此它是斯坦纳树。总的来说，这种减少可以用多项式时间来计算，所以你的问题是NP难的。