Question

我有一个二分图G。我想找到一个快速算法（渐近）来找到G的所有顶点到两个集合X和Y的赋值，这样就可以得到集合{{}}形成的完整二分图{ {1}}和X的边数尽可能多。

稍微长一点的解释：

Y是二分的，由一组连通分量组成（显然每个都是二分的）。我们希望将每个组件的定位（缺少更好的词）决定为G和X。在确定了所有定位后，我们完成了二分图（即我们将Y的每个顶点连接到X的每个顶点）。然后我们计算出完全有多少边缘（包括原始边缘），我们想要最大化这个数量。简单的数学表明边数为Y。

我对解决方案的思考过程：

随着组件数量的增加，|X|*|Y|的选择数量呈指数增长。但是，如果我们将G的连接组件的数量等于G中的节点数，那么解决方案很简单 - 拆分以便G和{{中的节点数量1}}相等（或在X中奇数个节点的情况下几乎相等）。这使我想要概括说问题与尝试最小化Y和G的基数差异（可以在this SO question中解决）相同。但是，我没有成功证明这一点。

Answer 1

让我们分解问题。

您的图表实际上是一组连接的组件，每个组件都连接在一起组件是(U_i,V_i,E_i)。
要最大化边数，您需要最大化其值 |X|*|Y|
要获得|X|*|Y|的最大值，您显然需要使用全部顶点（否则，通过添加另一个顶点，您将获得更大的值）。
您的选择自由实际上是为每个组件i选择 - 如果您应将U_i添加到X，将V_i添加到Y - 或者反之亦然。

所以，你实际上要做的是：

maximize:
sum { x_i * |V_i| : for each component i} * sum { y_i * |U_i| : for each component i}
subject to constraints:
x_i, y_i in {0,1} for all i
x_i + y_i = 1     for all i

我们想要最大化的值与函数f(x) = x(k-x)的行为类似，因为如果我们增加|X|，它会在减少|Y|的范围内增加，并且数量相同。此函数具有单个最大值：

f(x) = xk - x^2
f'(x) = k - 2x = 0  ---> x = k/2

意思是，我们应该分配节点，使X和Y的基数（大小）尽可能彼此最接近（并使用所有顶点）。

这可以缩减为Partition Problem：

Given U_1,V_1,U_2,V_2,...,U_k,V_k
Create an instance of partition problem:
abs(|U_1| - |V_1|), abs(|U_2| - |V_2|), ... , abs(|U_k| - |V_k|)

现在，找到分区问题的最佳解决方案可以直接转换为U_i，V_i中的哪一个包含在哪个集合中，并确保大小差异保持最小。

算法 - 平衡断开的二分图

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