分开断开的二分图的顶点

Question

我给出了一个包含许多单独组件的图表。每个组件都是二分的。如何将顶点分布为两组A和B，以使两组之间的差异最小？

示例：

1：1 -> 2 ->3 -> 4 -> 5

2：6 -> 7 -> 8

最佳解决方案是

A = {1, 3, 5, 7}

B = {2, 4 ,6, 8}

另一个（非最佳）解决方案是

A = {1, 3, 5, 6, 8}

B = {2, 4, 7}

当图表有许多单独的二分组件时，你如何解决这个问题？

Answer 1

这是Partition Problem，略带伪装。对于每个二分组件，取独立集中元素数量的差异（实际上，它是绝对值。）这是分区问题的输入。对于你的例子，它将是[1,1]（从（3-2）和（2-1）。）

现在将解决方案转换回图表。对于编号以集合S1结尾的每个图表，将其较大的集合放在A（以及B中的较小集合）中，对于编号以S2结尾的每个图表，将其较小的集合放在{{1}中}（和A中的较大者。）在您的示例中，解决方案是S1 = [1]和S2 = [1]。回到关联的图表，您可以从示例中获得最佳解决方案。

Answer 2

这是分区问题的变体，它是NP完成的。

对于每个组件，找到两边的顶点数，比如[m，n]，然后你必须决定是将m放在池A还是池B中，这样池A中术语总和之间的差异并且在B池中是最小的。

现有技术通过动态编程以及IPP的变化来解决这类问题。但是，如果有大量的组件，那么你就会注定NP的完整性。