证明旅行商（TSP）的2倍最优近似算法无法计算出最优解

Question

我对期末考试进行了审核，这个问题对我来说特别困惑。我需要一个关于3个顶点的例子，如果三角不等式不适用于成本，那么2次旅行商问题（TSP）的最优近似算法不计算2倍最优解。 我尝试了一个三角形的例子，其成本为1,1和10边。然而，要获得哈密顿循环，所有三边都必须遍历。那么最优解与使用该算法的近似解没有什么不同。我看这一切都错了吗？我很感激任何帮助。

Answer 1

如果你有顶点A，B，C，边缘成本为wAB，wAC和wBC，并假设三角形不等式不成立。说wBC＆gt; wAB + wAC。

然后，假设我们从A开始，近似算法将找到一个带有根A的最小生成树。这是：

  A
 / \
B   C

来自近似算法的解是该树的预先列举（返回到A），其是A-> B-> C-> A.这具有总重量wAB + wBC + wCA。然而，路径A-> B-> A-> C-> A具有权重wAB + wAC +（wAB + wAC）＆lt; wAB + wAC + wBC = wAB + wBC + wCA。 ＆lt;这里的步骤使用了关于三角不等式的原始假设。

通过选择足够大的wBC，我们可以使近似值任意变差（例如，比最佳值的2倍差）。例如，如果权重为1,1,10，则最优路径的总成本为4，但近似算法为12。

你的想法中的错误是，当看到近似算法产生哈密顿循环时，推断出任何TSP解都必须是哈密顿循环。