我理解如何在大多数情况下计算函数的复杂性。确定数学函数的增长顺序也是如此。 [我可能不像我想的那样理解它，这就是为什么我可能会问这个。]例如：
an^3 + bn^2 + cn + d可以用大写符号写成O（n ^ 3），因为对于足够大的n，与{bn^2 + cn + d相比，术语an^3的值无关紧要1}}（常数系数a，b，c和d也被省略，因为它们对数值的贡献也变得无关紧要。）
我不明白的是，当主导词涉及某种划分时，这是如何运作的？例如：
a/n^3 + bn^2或n^3/a + bn^2
对于前一个公式，设n = 100，a = 1000，b = 10，那么我们有
n^3/a = 100^3/1000 = 1000和bn^2 = 10*100^2 = 100,000
a/n^3 = 1000/100^3 = 0.001和bn^2 = 100,000如上所述。
在这两种情况下，第二项的贡献要大得多，那么实际决定增长顺序的不是n^2吗？
当主要词语后跟减法（a/n^3 - bn^2）或第二个词也是分词（n^3/a + n^2/b)或两者都是分词时，它会变得更复杂（至少对我而言）分裂但按混合顺序（a/n^3 + n^2/b）等
列表似乎无穷无尽，所以我的一般问题是，如何理解和处理涉及除法（和减法）的公式，以确定给定函数的增长顺序？
答案 0 :(得分：3)
除法只是乘以multiplicative inverse，所以n^3/a == n^3 * a^-1，你可以像处理任何其他系数一样处理它。
关于减法a*n^3 - b*n^2 <= a*n^3，它也在O(n^3)。此外，a*n^3 - b*n^2 >= a/2 * n^3适用于n足够大的值，并且也在Omega(n^3)中。关于减法的更详细解释可以在：Algorithm complexity when faced with substraction in value
大O符号通常用于增加（不必单调）函数，而a/n等递减函数不适合它，尽管O(1/n)似乎仍然完美定义，AFAIK，它是O(1)的一个子集（除非你只考虑离散函数）。然而，这对于算法的分析几乎没有价值，因为算法的复杂性无法真正缩小。
答案 1 :(得分：1)
对于您发布的问题类型，这是一个非常简单的规则。
假设您正在尝试查找f(n)的增长顺序，并找到一些简单的函数g(n)，以便
lim {n -> inf} f(n) / g(n) = k
其中k是正有限常数。然后
f(n) = Theta(g(n))
（从微积分定义中很容易看出这一点。）
现在让我们看看这如何适用于您的示例：
lim {n -> inf} (a/n^3 + bn^2) / n^2 = b
所以Theta(n^2)。
lim {n -> inf} (a n^3 - bn^2) / n^3 = a
所以Theta(n^2)。
（当然，假设a和b是正面的。）