如何解决:T(n)= T(n - 1)+ n

时间:2010-05-02 09:23:39

标签: algorithm big-o recurrence

我有以下方法:

T(n) = T(n - 1) + n = O(n^2)

现在当我解决这个问题时,我发现绑定非常松散。我做错了什么或是这样吗?

4 个答案:

答案 0 :(得分:6)

您还需要一个基本案例来表示您的递归关系。

T(1) = c
T(n) = T(n-1) + n

要解决这个问题,您可以先猜测一个解决方案,然后使用归纳法证明它是有效的。

T(n) = (n + 1) * n / 2 + c - 1

首先是基础案例。当n = 1时,根据需要给出c。

对于其他n:

  T(n)
= (n + 1) * n / 2 + c - 1
= ((n - 1) + 2) * n / 2 + c - 1
= ((n - 1) * n / 2) + (2 * n / 2) + c - 1
= (n * (n - 1) / 2) + c - 1) + (2 * n / 2)
= T(n - 1) + n

所以解决方案有效。

要获得猜测,请注意当c = 1时,您的重复关系会生成triangular numbers

T(1) = 1:

*

T(2) = 3:

*
**

T(3) = 6:

*
**
***

T(4) = 10:

*
**
***
****

etc..

直观地,三角形大约是平方的一半,而在Big-O表示法中,常量可以被忽略,因此O(n ^ 2)是预期的结果。

答案 1 :(得分:3)

这样想:
在递归的每次“迭代”中,你做O(n)工作 每次迭代都有n-1个工作要做,直到n =基本情况。 (我假设基本情况是O(n)工作)
因此,假设基本情况是n的常量独立,则递归有O(n)次迭代。
如果每次迭代O(n)次,则O(n)* O(n)= O(n ^ 2)。
你的分析是正确的。如果您想了解有关这种求解递归的更多信息,请查看递归树。与其他方法相比,它们非常直观。

答案 2 :(得分:2)

这个解决方案非常简单。你必须展开递归:

T(n) = T(n-1) + n = T(n-2) + (n - 1) + n = 
= T(n-3) + (n-2) + (n-1) + n = ... =
= T(0) + 1 + 2 + ... + (n-1) + n 

这里有算术级数,总和为1/2*n*(n-1)。从技术上讲,你在这里缺少边界条件,但是在任何常量边界条件下,你会看到递归是O(n^2)

答案 3 :(得分:0)

看起来正确,但将取决于基本情况T(1)。假设您将执行n步骤以使T(n)变为T(0)并且每次n项在0和n之间的任何位置,平均为n / 2,因此n * n / 2 =(n ^ 2)/ 2 = O(n ^ 2)。