Question

任何人都可以帮助我：使用迭代求解方法T（n）= T（n-1）+（n-1）

并证明T（n）∈Θ（n²）

请你，如果你能逐步解释我会很感激。

Answer 1

我解决了一个简单的方法：

T (n) = T (n - 1) + (n - 1)-----------(1)
//now submit T(n-1)=t(n)

T(n-1)=T((n-1)-1)+((n-1)-1)
T(n-1)=T(n-2)+n-2---------------(2)

now submit (2) in (1) you will get
i.e T(n)=[T(n-2)+n-2]+(n-1)
T(n)=T(n-2)+2n-3 //simplified--------------(3)

now, T(n-2)=t(n)
 T(n-2)=T((n-2)-2)+[2(n-2)-3]
T(n-2)=T(n-4)+2n-7---------------(4)
now submit (4) in (2) you will get
i.e T(n)=[T(n-4)+2n-7]+(2n-3)
T(n)=T(n-4)+4n-10 //simplified
............
T(n)=T(n-k)+kn-10

now, assume k=n-1

T(n)=T(n-(n-1))+(n-1)n-10
T(n)=T(1)+n^2-n-10
According to the complexity 10 is constant

So , Finally O(n^2)

Answer 2

T(n) = T(n - 1) + (n - 1)
      = (T(n - 2) + (n - 2)) + (n - 1)
      = (T(n - 3) + (n - 3)) + (n - 2) + (n - 1)
      = ...
      = T(0) + 1 + 2 + ... + (n - 3) + (n - 2) + (n - 1)
      = C + n * (n - 1) / 2
      = O(n²)

因此，对于足够大的n，我们有：

n * (n - 1) / 3 ≤  T(n) ≤ n²

因此我们有T(n) = Ω(n²) and T(n) = O(n²)，因此T(n) = Θ (n²)。

Answer 3

T（n）-T（n-1）= n-1 T（n-1）-T（n-2）= n-2

通过减法

T（n）-2T（n-1）+ T（n-2）= 1 T（n-1）-2T（n-2）+ T（n-3）= 1

再次，通过替换

T（n）-3T（n-1）+ 3T（n-2）-T（n-3）= 0

递归的特征方程是

x ^ 3-3x ^ 2 + 3x-1 = 0

或

（x-1）^ 3 = 0。

它的根x_1,2,3 = 1

所以递归的一般解决方案是

T（n）= C_1 1 ^ n + C_2 n 1 ^ n + C_3 n ^ 2 1 ^ n

或

T（n）= C_1 + C_2 n + C_3 n ^ 2。

所以

P（n）＝θ（n ^ 2）。

如何通过迭代法求解T（n）= T（n-1）+（n-1）？

3 个答案: