如何比较旋转和平移矩阵中两个物体的姿态和位置？

Question

我有两个4 * 4矩阵表示OpenGL中两个对象的姿势和位置。如何计算这些对象的方向和原点的差异。 这是从OpenGL样式矩阵转换而来的矩阵。

r1 r2 r3 t1
r4 r5 r6 t2
r7 r8 r9 t3
 0  0  0  1

Answer 1

假设两个矩阵是M1和M2，它们适用于右边的向量：

x1 = M1 * x
x2 = M2 * x

两个矩阵之间的“差异”可以定义为需要应用于x1以获得x2的矩阵Md：

Md * x1 = x2
Md * (M1 * x) = M2 * x

要为所有向量x创建此标识，Md需要满足等式：

Md * M1 = M2

为了在这个等式中隔离Md，我们乘以M1的倒数：

Md * M1 * inv(M1) = M2 * inv(M1)

矩阵乘法是关联的，因此我们可以将左侧分组为：

Md * (M1 * inv(M1)) = M2 * inv(M1)

，Md的结果是：

Md = M2 * inv(M1)

所以你可以用4x4矩阵求逆和矩阵乘法来解决这个问题。

另一种方法是将原始矩阵分解为旋转和平移，这些矩阵应用于向量：

x1 = R1 * x + t1
x2 = R2 * x + t2

其中R1和R2是3×3矩阵，t1和t2平移向量。按照与之前相同的步骤，还将差异分解为旋转Rd和翻译td：

Rd * x1 + td = x2
Rd * (R1 * x + t1) + td = R2 * x + t2
Rd * R1 * x + Rd * t1 + td = R2 * x + t2

要使两侧的旋转部分相匹配，Rd需要满足：

Rd * R1 = R2

毫不奇怪，Rd的计算看起来非常类似于上面的Md。作为一种简化，我们可以利用旋转的逆是其转置的事实：

Rd = R2 * inv(R1)
Rd = R2 * transp(R1)

现在在上面的等式中，翻译部分也需要匹配，这给了我们td：

Rd * t1 + td = t2
td = t2 - Rd * t1

总之，您可以计算差异的旋转矩阵和平移向量：

Rd = R2 * transp(R1)
td = t2 - Rd * t1