以下代码片段的最坏情况运行时间的增长顺序是N的函数是多少？

Question

int sum = 0;
for (int i = 1; i <= N; i = i*2)
    for (int j = 1; j <= N; j = j*2)
        for (int k = 1; k <= j; k++)
            sum++;

根据解决方案，它是NlogN。但是，我认为这只是logN。 i for循环迭代logN次，因为我每次迭代都加倍。 j for循环与i for循环相同，因此它也会迭代logN次。最后，k for循环，因为它被设置为小于或等于j，它将迭代相同的次数j，因此，我们有另一个logN迭代。将三者相乘，我们得到logN * logN * logN总迭代次数或（logN）^ 3的复杂性。为什么我的思维过程不正确？

Answer 1

sum++;

显然是O（1）

for (int k = 1; k <= j; k++)
    sum++;

循环运行j次，因此O(j)

for (int j = 1; j <= N; j = j*2)
    for (int k = 1; k <= j; k++)
        sum++;

所以这很棘手。我们知道内循环是O(j)，但j正在外循环中发生变化。你说：

  

最后，k for循环，因为它被设置为小于或等于j，它将迭代相同的次数j

没有。 j循环按双精度计算。但内循环按增量计算。它们不会进行相同数量的迭代。

由于每个内循环都在O（j）时间运行，我们只需要在循环中每次都求和j。每次j加倍，以便给我们：

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... + n

此序列最终略低于2n。 （为什么留给读者作为一个例外。）因此它的O(n)

for (int i = 1; i <= N; i = i*2)
    for (int j = 1; j <= N; j = j*2)
        for (int k = 1; k <= j; k++)
            sum++;

外部循环不与内部循环交互，并且运行log(N)次给我们O(N log N)

Answer 2

使用Sigma表示法，您可能会有条不紊地得到确切的公式：