以下代码的增长顺序？

Question

我收到了以下问题，无法确定正确的答案：

for (int i=1; i<=n/2; i++)
  for(int j=i; j<=n-i;j++)
    for(int k=i;k<=j;k++)
      x++;

x的增长顺序是n？

的函数

1. Ω（N ^ 3）。
2. Θ（N ^ 2.5）
3. Θ（N ^ 2）
4. Ο（nlogn）
5. 以上都不是

我设法弄明白：

T(n) = n*(n-1) + T(n-2)

但这并没有真正帮助我弄清楚增长的顺序。 也许有更好的方法来找到它？

Answer 1

这看起来像是一个家庭作业问题所以我只会给你提示。

1）假设你只有内循环。作为i和j的函数，你通过内循环多少次？每次迭代循环执行多少次操作？应该总共执行多少次操作？

2）现在假设你只有内在的两个循环。你有多少次通过外环，作为i和n的函数？每次通过外循环时，您通过内循环多少次？ （提示：这应该根据j是不同的）总共应该执行多少次操作？

3）现在您已准备好了解整个问题。您通过内部两个循环（作为n的函数）多少次，以及每次迭代应执行多少操作？总共执行了多少次操作？ （这是你的答案）

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好的，你说这不是一个家庭作业问题，实际上它比我想象的要难，所以我只是给你答案。

每个内循环在时间j-i中运行。

第二个循环在时间上运行（i - i）+（i + 1 - i）+ ... +（i + n - 2i - i）= 1 + 2 + ... +（n - 2i） =（n - 2i）（n - 2i + 1）/ 2，通过数学归纳法。

当计算生长顺序时，1项与n相比非常小，因此外环在大约n ^ 2/2 +（n-2）^ 2/2 +（n-4）^ 2中运行/ 2 + ... + 1/2。

这大约是1 ^ 2 + 2 ^ 2 + ... + n ^ 2的四分之一，其通过归纳是n（n + 1）（2n + 1）/ 6。因此，增长的顺序是Omega（n ^ 3）。

Answer 2

有人在上面的评论中提到了印刷语句。以下是一些：

n = 20 --> x = 715
n = 21 --> x = 825
n = 22 --> x = 946
n = 23 --> x = 1078
n = 24 --> x = 1222
n = 25 --> x = 1378
n = 26 --> x = 1547
n = 27 --> x = 1729
n = 28 --> x = 1925
n = 29 --> x = 2135
n = 30 --> x = 2360
n = 31 --> x = 2600
n = 32 --> x = 2856
n = 33 --> x = 3128
n = 34 --> x = 3417
n = 35 --> x = 3723
n = 36 --> x = 4047
n = 37 --> x = 4389
n = 38 --> x = 4750
n = 39 --> x = 5130
n = 40 --> x = 5530

Answer 3

我试图计算它，我发现T(n) = (13/12) * n * (n² + 3*n + 2) （数学规则！）。所以这是立方体。 - ＆GT; 回答1。

编辑：计算中出错。真正的答案是T(n) = n * (n + 2) * (2*n - 1) / 24：

然而它仍然是立方体。