Question

我正在网上参加一门课程并坚持以下问题。以下代码片段的最坏情况运行时间的增长顺序是N？

的函数

int sum = 0;
for (int i = 1; i <= N*N; i++)
    for (int j = 1; j <= i; j++)
        for (int k = 1; k <= j; k++)
            sum++;

我认为它是N^4的顺序，但似乎这个答案是错误的。你能解释一下吗？

Answer 1

它是O(N^6)的顺序。您应该注意，每个循环都只是为复杂性添加了一个订单N。考虑以下示例：

int sum = 0;
for (int i = 1; i <= M; i++)
    for (int j = 1; j <= i; j++)
        for (int k = 1; k <= j; k++)
            sum++;

你应该能够很容易地发现它是O(M^3)的顺序，所以如果你替换M=N^2，那么你就会得到答案。关键点在于，在这种情况下，每个内部循环的顺序为O(N^2)，但不是O(N)。

Answer 2

我们用n = N^2表示。然后，每次k <= i <= j时都会执行循环。这将大约n^3/6次。因此，运行时为O(n^3)= O(N^6)

解释：暂时忽略k==i或j==i或j==k的情况，我们从6个不同的三元组中选择1个：

 (a1,a2,a3)
 (a1,a3,a2)
 (a2,a1,a3)
 (a2,a3,a1)
 (a3,a2,a1)
 (a3,a1,a2)

总体而言，有n^3三倍。 6个三元组中只有一个服从命令。

Answer 3

内部循环的一次运行恰好sum次增加j次。

中间循环的一次运行恰好i次调用内循环，j和1之间的值i。因此，sum恰好1+2+3+...i次增加i.(i+1)/2次，这是众所周知的“三角数”公式。{/ p>

外部循环恰好N^2次调用中间循环（让我们将其表示为M），i和1之间的值为M （包括的）。因此，sum恰好1+3+6+...M.(M+1)/2次增加M.(M+1).(M+2)/6次。同样，这是sum，由不太知名的“四面体数”公式（http://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahedral_number）。

总而言之，N^2.(N^2+1).(N^2+2)/6的最终价值为O(j)。

以渐近项思考，内循环为O(i^2)，中间循环为O(M^3)（通过求和），外循环为O(N^6)（通过求和），即n^k

另请参阅Faulhaber的公式，其中显示O(N^(k+1))的总和为{{1}}（http://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber%27s_formula）。

Answer 4

最内层（k）循环的任何给定运行都具有与j成比例的时间，但是我们必须为j = 1到j = i中的每一个执行其中一个，并且总和1 + 2 + ... +我像i ^ 2一样成长。因此，对于任何给定的 i，我们有一个O（i ^ 2）运行时间，但当然我们必须处理i = 1到i = N ^ 2。 i ^ 2的总和为i = 1到N ^ 2 happens to grow like N^6。

代码增长的算法顺序

4 个答案: