Question

我有以下代码来查找树的直径：

ALGORITHM: TREE_DIAMETER (T)

maxlength ← 0
for s ← 0 to s < |V[T]|
      do temp ← BSF(T, S)
            if maxlength < temp
                   maxlength ← temp
                   increment s by 1
return maxlength

但是这个算法不能在线性时间内运行。尽可能保留上述代码的细节（例如：使用BSF），是否可以将其优化为线性时间？您可以使用伪代码。

Answer 1

这是一个线性时间复杂度的简单算法：
1）选择一个任意顶点v 2）使用BFS从v找到最远的顶点（让我们称之为u）。
3）再次使用BFS从u找到最远的顶点（让我们称之为t）。
然后distance(u, t)是直径 BFS只被调用两次，因此时间复杂度是线性的。

Answer 2

作为对其他答案的补充，可以按照以下方式进行证明：

让我们首先将树中直径的两端表示为s和t，函数d(u, v)表示节点u和节点{{}之间的距离1}}。

现在我们选择一个任意节点v，然后我们有2个案例：

X在直径上;
X直径。

对于案例1，通过执行（2）（@ user2040251的答案中描述的算法的第二步）很容易看出，我们将获得X或d(X, s)。如果我们得到其他内容，请说d(X, t)，那么d(X, u)和u或s可以形成比t更长的路径，这与事实相矛盾。因此，通过做（3），我们将获得d(s, t)。

对于案例2，通过做（2），我们有2个案例：

从d(s, t)开始的最长路径在直径上至少包含1个点;
从X开始的最长路径不会与直径共享任何点。

对于案例2.1，我们将第一个交叉点表示为X。由于案例1，我们知道从Y 开始的最长路径必须以Y或s 结束。因此，在这种情况下，从t开始的最长路径必须以X或s结束。因此，通过执行（3），我们将获得t。

对于案例2.2，我们用d(s, t)作为X表示最长路径的另一端。由于Z或X都不在直径上，并且Z，X，Z，s位于同一棵树上，可以得出结论必须是路径t到V上的节点X，指向路径Z上的节点W的链接{ {1}} 即可。因为s到t是从X开始的最长路径，所以Z。同样，我们有X。添加它们并简化它们会给我们：d(X, V) + d(V, W) + d(W, t) < d(X, Z)，这与d(Z, V) + d(V, W) + d(W, s) < d(X, Z)到d(X, Z) > 2d(V, W) + d(s, t) > d(s, t)的直径相矛盾。

说明案例2.2的图表：

所以我们有：

Z因为X到d(Z, V) + d(V, W) + d(W, s) < d(X, Z)是从X开始的最长路径;

添加2个表达式：

Z

最后，我们有Z，这与事实相矛盾。

求树直径的线性算法

2 个答案: